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2024-08-05 09:27

他因七巧板而爱上数学谜题,如今破解一个百年难题

本文来自微信公众号:返朴 (ID:fanpu2019),作者:嘉伟,题图来自:视觉中国


似乎人类很喜欢拼图类的游戏。在不同的文明中,各式各样的拼图玩具被不同时代的人反复发明。根据著名的《阿基米德重写本》(Archimedes Palimpsest),阿基米德曾将一个正方形分解成14块,思考如何将碎片以不同的方式重新组合在一起,形成一个正方形。源自中国的七巧板,更是给世界各地的儿童带来无限乐趣的益智玩具。今年5月末,一位儿时因七巧板爱上破解谜题、进而创造谜题的芬兰人,解决了一个数学上的百年谜题。


阿基米德的14块碎片拼正方形难题Ostomachion。丨图源:Dissection puzzle - Wikipedia


剖分谜题


在19世纪后期,当报纸和杂志开始刊登各种智力趣题填充版面时,这些谜题的受欢迎程度大大提高。美国的益智谜题创作者萨姆·劳埃德(Sam Loyd)和英国的亨利·杜德尼(Henry Dudeney)是最受欢迎的出题人。从那时起,拼图和相关衍生谜题就被用于娱乐和数学教育。


劳埃德曾向公众发起智力挑战:一个木匠需要将一个主教冠形状(一个正方形切去1/4,即剔除一个等腰直角三角形后)的木板切割成几块(要求块数最小),才能经过再拼接,重组成一个小正方形?劳埃德后来给出了自己的答案,遗憾的是,他的构造并不正确。劳埃德认为分成适当的4小块,便已足够。


图中人手中拿着的那个东西就是所谓的主教冠mitre形状。|图源:Sam Loyd's Cyclopedia of Puzzles (jwstelly.org)


在数学上,将正多边形和其他简单的几何形状分解成若干块,然后重新拼成另一种形状,叫做平面面积剖分(Dissection)。剖分可以说是拼图游戏的专业升级版:玩家由借助已知的碎片完成拼图,升级到为了实现图形的重组,自行设计和切割出合适的碎片。


剖分后来成为马丁·加德纳(Martin Gardner)1961年11月在《科学美国人》上发表的“数学游戏专栏”的主题。他在专栏里再次向公众介绍了劳埃德的问题——“主教冠问题”(Miter-Dissection Puzzle)。虽然读者们踊跃参与,但没有人能想出4块的拼法,人们至少要把原图形分解成5块,才能把它们重新拼出一个正方形。


直到劳埃德过世百余年后的2024年5月27日,mathstodon社区一位名为Vesa Timonen的用户贴出了下图:


图源:vesatimonen.github.io


4块拼图


先解释一下图片里的内容。


最上面一层是劳埃德在1901年提出的问题:把左侧的图形剖分后,重新拼成右侧的图形(正方形)


从上往下第二层是劳埃德自己给出的解答。从图里可以看到,他借助台阶错合的技巧,想要构造出正方形。但是,简单计算一下就知道无法得到正方形。


第三层则是历史上亨利·杜德尼给出的5块剖分的构造。当然,除了杜德尼之外,还有其他人也给出了自己的5块剖分构造,其中包括国内一位名为傅薇的折纸和解谜高手。甚至在Vesa Timonen后来开列的参考文献里,就包括傅薇发表在微信公众号上的一篇文章《折纸思路新解百年数学题》(也就是文末参考资料2,作者给出了新颖的5块解法)


Timonen认为傅薇的这篇文章,是在他之前对这个问题梳理得最好的文献。虽然他看不懂中文,但是借助翻译软件读完了全文。感兴趣的朋友可以找来一读,其中还有很详细的计算,可以解释为何劳埃德的方法行不通。同时,由于一直找不到4块剖分,一段时间以来,人们倾向于认为,不存在4块的解法……


至于第四层,就是Timonen本人发现的4块剖分解法。


想出剖分方法是很困难的,但是验证已有的方法则非常简单。数学界在初步检验过后,就有人疑惑道:Vesa Timonen是谁啊?他又是怎么做到的?


双重身份


Vesa Timonen拥有双重身份,白天按部就班地上班,干的是令自己讨厌的嵌入式软件工程师,晚上则是才华横溢的智力玩具谜题设计师。尽管他在数学圈子里毫无名气,但Timonen是芬兰最杰出的益智玩具设计师之一,也是为数不多的拼图设计师之一。甚至在国内的智力玩具(如巧环、鲁班锁这种)爱好者圈子里,也有很高的知名度。


工作中的Vesa Timonen丨图源:https://pulmallinentapaus.blogspot.com/


他从小就对魔术感兴趣,但是随着年龄增长,他更愿意去破解魔术。后来,他的叔叔教他玩七巧板,他们开始一个接一个地解决七巧板的难题。等成年后,他开始自己设计谜题。他的许多作品都被Hanayama Cast系列收录。Hanayama是一家对于谜题爱好者来说非常有影响力的日本玩具公司。


Timonen认为,任何人都可以通过不断尝试和分析失败来创造出独特的谜题。他还强调,失败是创作过程中的一部分,每次失败都会带来新的启示和灵感。


智力玩具设计师的笔记本上全是几何图形和数学计算丨图源:https://pulmallinentapaus.blogspot.com/

这一次,Timonen编写了一个软件,希望能借助现代计算机的算力系统地解决各种剖分问题。他选中的第一个问题就是主教冠问题,然后十分顺利地找到了答案。实际上,如果滑动边界,可以构造出无限多个4块剖分解法。


示意图(直观看起来图形可能边长不等,但实际上误差很小) 丨图源:THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)


韩国延世大学的数学博士Jin-Hoo Ahn为Timonen的解法提供了一个无文字证明,大家可以欣赏一下。


图源:THE MITRE DISSECTION PUZZLE (vesatimonen.github.io)


稍带一提,Jin-Hoo Ahn也是谜题爱好者,还会制造机关盒一类的智力玩具。或许就是因此和本文的主角有了交集。


更加数学


Timonen的4块剖分解里,有一个瑕疵:两边的绿色块其实是镜像对称的。也就是说,拼图的时候,绿色块没有区分正反面。Timonen尝试寻找不包含镜像对称的剖分方法,但始终未能成功。相反,程序找到了50多个不带镜像对称的5块解法。所以,或许并不存在4块非镜像的剖分解法,但我们还未能证明这一点。这也是这道百年谜题所缺失的最后一块拼图。


在数学上,我们有著名的华勒斯-波埃伊-格维也纳定理(Wallace-Bolyai-Gerwien Theorem,1807):对于任意两个多边形,都可以把其中一个分割成有限多个小多边形,并经过平移和旋转,拼合成第二个大多边形。


上述定理保证了剖分的可行性,但是当把“有限个”限制到具体的数值时(比如说今天的问题是4块),就无法保证仅靠平移和旋转就能拼合成功。翻转小块得到镜像,或许是必要的操作。


除了限制翻转-镜像的使用之外,人们有时对剖分加上一些更强的限制。如著名的铰接式剖分Hinged dissection。


在几何中,铰接式剖分(又称摆动铰链式剖分或杜德尼剖分)的所有部分都通过“铰链”的接点连成整体。如此一来,从一个图形到另一个图形的重新排列可以通过连续摆动链来进行,而不会(也不能)切断任何连接。通常情况下,我们假定在折叠和展开过程中允许碎片重叠。


铰接式剖分的概念是由前文提到的亨利·杜德尼推广的。他在1907年出版的《坎特伯雷谜题》(The Canterbury Puzzles)一书中,介绍了著名的将正方形用铰链剖成三角形的方法。


图源:Hinged dissection - Wikipedia


然而,是否能把华勒斯-波埃伊-格维也纳定理推广到铰接式剖分上呢?亦即两个面积相等的多边形,是否必然能通过一个铰接式剖分化为彼此?这个问题一直悬而未决。


直到2007年,Erik Demain等人证明了必定存在这样的铰接式剖分,并提供了一种生成铰接式剖分的构造算法。即使要求摆动时组件不会重叠,这个证明也是成立的,而且可以推广到任何一对有共同剖面的三维图形。然而,在三维空间中,并不能保证组件重组时不会彼此重叠。二维平面上重叠的话,在物理上是很容易实现的——只要理解成运动过程中分出上下两层便可。但是三维构件彼此重叠,则是物理上的刚体无法实现的。只能当成是数学上的无实体对象。


化圆为方


前面的讨论始终停留在直线构成的图形上,那么,由曲线围成的图形也能剖分重组吗?或许最终极的剖分问题,就是化圆为方。


公元前450年左右,相信“理性统治世界”的哲学家、天文学家和数学家Anaxagoras,在因渎神而遭遇监禁的期间提出了一个现在著名的数学问题,即:仅使用圆规和没刻度的直尺,你能画出一个与给定圆等面积的正方形吗?


这个问题在1882年有了答案,当时德国数学家费迪南德·冯·林德曼(Ferdinand von Lindemann)证明,这是一个尺规作图不能问题。他证明圆周率π是一种特殊的数字,称之为超越数(超越数还包括e)


原本故事可以在这里画上句号。但在1925年,人类历史上最重要的逻辑学家之一的阿尔弗雷德·塔斯基(Alfred Tarski)通过调整规则重新提出了这个问题。他问,是否可以通过将一个圆盘切成有限数量的小块,用它们重新拼出一个正方形来?


1988年,Miklós Laczkovich正面回答了塔斯基的问题:圆形可以剖分后重新配置为正方形,大概需要把圆分解成1050个碎片。但是相当长的一段时间以来,化圆为方的剖分方法里总是涉及一些无法直观展示和可构造的成分:存在面积无法定义(勒贝格不可测集)的碎片和面积为0的碎片(零测度集)


直到前几年,加州大学洛杉矶分校的数学家Andrew Marks与现在在多伦多大学的Spencer Unger才提供了第一个完全构造性的化圆为方的证明:每个碎片都有明确的面积,无一例外。


代价是,他们要把圆分解成10200个碎片,同时虽然理论上是可构造的,但过程太复杂,无法进行展示。


2022年2月,华威大学的Andras Máthé和Oleg Pikhurko以及维多利亚大学的Jonathan Noel在网上发表的一篇论文为这一古老的问题添加了新的内容。他们的作品虽然也把圆分为约10200块,但形状更简单,更容易形象化。甚至可以做成演示视频(见文末参考[9])


数学家已经有了进一步简化拼图碎片的想法,减少总数和不均匀性。Marks做过的计算机模拟实验表明——但未证明——分解可以至多用22块来完成。他认为最低数字可能会更低。


“我敢打赌,你可以用不到20块来化圆为方。”他说,“但我不会赌上1000美元。”



参考资料

[1]Sam Loyd's Cyclopedia of Puzzles(jwstelly.org)

[2]折纸思路新解百年数学题(qq.com)

[3]THE MITRE DISSECTION PUZZLE(vesatimonen.github.io)

[4]Pulmallinen tapaus:Vesa Timonen访谈

[5]Hinged dissection-Wikipedia

[6]An Ancient Geometry Problem Falls to New Mathematical Techniques|Quanta Magazine

[7]Dissection--from Wolfram MathWorld

[8]Vesa Timonen:"Dissecting a mitre.#dissectio…"-Mathstodon

[9]度量几何演示塔斯基化圆为方问题的解_哔哩哔哩_bilibili


本文来自微信公众号:返朴 (ID:fanpu2019),作者:嘉伟

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