用一篇论文建立一个学科，除了爱因斯坦还有他

1948年，当香农终于整理好所有文字，发布他那惊天论文——A Mathematical Theory of Communication（《一种通讯的数学理论》）——的时候，不知道他是否会知道，自己会在一年后，会和瓦伦·韦弗（Warren Weaver）一道，将A改成The，完成用一篇论文建立一个学科的壮举。本文来自微信公众号：环球科学（ID：huanqiukexue），作者：王昱，审校：吴非，头图来自：纪录片《香农传》

我们身处信息时代，但在享受海量数据带来的便利时，克劳德·香农（Claude Shannon，1916-2001）——信息论的创始人，却鲜为人知。香农是近代最伟大的数学家之一，他毫无疑问是个天才，并且拥有符合所有人刻板印象的，只有天才才能拥有的离谱人生。毕竟只用一篇论文就能建立一个学科的，除了爱因斯坦，还有香农。

小说中才会有的天才

香农1916年出生于密歇根州的一个小镇，自幼崇拜托马斯·爱迪生，经常在家里制作模型飞机、遥控船还有无线电台。后来他才知道，原来爱迪生竟然是自己的远房亲戚。

1932年香农进入密歇根大学，就是在那里，他接触到了乔治·布尔（George Boole，英国数学家，布尔型、布尔代数均得名于他）的理论。大学毕业时，他获得了电子工程和数学两个学士学位，并进入麻省理工学院深造。在那里，他参与了万尼瓦尔·布什（Vannevar Bush）的微分分析机的相关工作。

微分分析机是一种由轴承和齿轮构成的机械计算机，正是在那时，他发现布尔代数与这种机械、电路设计，有惊人的联系。于是他发表了自己的硕士论文，《继电器和开关电路的符号分析》（A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits）。从此，电路设计从依靠灵光一闪的艺术，变成了可以依靠严谨逻辑一步步推导下来的工程。

 “这可能是本世纪最重要、最著名的硕士学位论文。”哈佛大学的霍华德·加德纳（Howard Gardner）在后来这样评论这篇论文。不过，即使是这样的成就还远不能称为香农最高光的时刻。

香农在万尼瓦尔·布什的建议下，将他的理论应用于遗传学。当时沃森和克里克还没有弄清楚DNA的结构，但是既然遗传物质必然包含信息，概率一类的东西，为什么不尝试一下呢？在读了所有他能找到的有关遗传学的书后，香农撰写了《理论遗传学的代数》（An Algebra for Theoretical Genetics），用线性代数描述不同遗传性状在遗传中的可能性。以此，就能用线性代数来预测性状是如何代代相传的。

不过，这种理论并没有被生物学家大规模使用。但至少，1940年香农以此得到了麻省理工学院的博士学位，和在普林斯顿高等研究院的工作。而在那里，他可以接触到那个时代最闪耀的一批人——阿尔伯特·爱因斯坦、库尔特·哥德尔、冯·诺依曼……

物理学圣地，普林斯顿高等研究院（图片来源：Hanno Rein，Wikipedia）

在这批人的光芒的掩盖之下，即使是当时的香农，也不过是一个初出茅庐的毛头小子。按照香农的说法：“我见过这些人，可是他们没有见过我。”那时信息论已经在他头脑中酝酿。但他失望地发现，在普林斯顿高等研究院中，所有人关心的都是一些量子力学、广义相对论的本质之类的问题，他那些更实用一些的数学问题并没有人关心。

无人关心，再加上二战的爆发，他只在高等研究院待了两个月，就加入了贝尔实验室，在军方的直接领导下研究火控系统和密码学。根据《香农传》（The Bit Player）中，对香农前妻、前女友和妻子三人的采访，可以知道香农是一个帅气且有情调的人。而正是在军方领导的贝尔实验室工作时，他甚至无法维持和第一任妻子的婚姻，可见这段经历让他有多消沉。

不过在贝尔实验室的工作也不是全是坏事，至少他接触到了艾伦·图灵（Alan Turing），并得知了他的“图灵机”。他对此很感兴趣，并经常约在下午茶时间见面，香农还为图灵机补充了一些自己的见解。

按照香农的说法，在贝尔实验室密码学方向的工作，只是为自己提供一个职位，让自己能研究自己真正关心的，有关信息的数学。其实，1945年二战末期，他在贝尔实验室内部密码学相关的备忘录中，就已经有了信息论的雏形。至于为何要等到1948年才整理出完整的论文，他的回答只有一个字：“懒。”

一篇论文建立一个学科

1905年，26岁的爱因斯坦发了四篇论文，建立了三个学科——量子论、统计力学和狭义相对论。43年后的1948年，当年面对爱因斯坦插不上话的香农，在32岁时终于也完成了一篇论文建立一个学科的壮举——A Mathematical Theory of Communication（《一种通讯的数学理论》）横空出世，其完整性甚至到今天还能作信息论教材使用。一年后，用这篇论文再加上瓦伦·韦弗（Warren Weaver）的科普文章，把A改成The，两人出版了The Mathematical Theory of Communication（《通讯的数学理论》）。信息论就此诞生。

信息的数量与其内容好坏无关，毕竟所有信息编码转换成信号后，发送时的数量只与其长度有关，而这个长度可以用对数很方便的表示。受约翰·图基（John Tukey，快速傅里叶变化发明者）的启发，香农用信息转换成二进制数字后的二进制数位（binary digit）作为信息的单位，或者将其简称为比特（bit）。这是比特这一词首次公开出现，这个词在接下来大半个世纪的时间里，深刻地改变了整个世界。（以下出现的对数log均以2为底）

但仅仅找到信息的单位还远远不能让香农满足，他想要更深刻的解释。

用一种不太严谨的说法，在他看来，能从随机过程结果的不确定性结果中，让人确定唯一结果的东西才是信息。

比如说，抛出一枚硬币，落地时数字面和花面朝上概率相等。那么在不知道结果前，都不能十足的把握说硬币哪面朝上。但如果知道了硬币数字面朝上的信息，那么就可以确定抛硬币的结果是数字面朝上。如果抛出一枚两边都是数字面的硬币，那么就算不知道结果的信息，也可以确定硬币的数字面朝上。两种抛硬币的问题，前者在确定答案需要信息，而后者不需要。

再加上一些数学概率上的考虑，香农发现玻尔兹曼曾经研究过的物理学概念——熵，很适合用来描述这些。

其中p_i是可能发生某种结果的概率，H就是信息学中的熵，或称香农熵（Shannon entropy），单位为比特。它和玻尔兹曼总结的热力学中物理上的熵只差了一个常系数k_B·ln2，k_B是玻尔兹曼常数，ln2而是因为信息论和物理学中对对数底数选择的不同导致的。

信息熵就是信息数量的度量，我们由此可以计算一个符号中包含的信息量了。

对于抛一枚硬币的问题，两面概率都是1/2，则其信息熵为H=-（0.5×log（0.5）+0.5×log（0.5））bit=1 bit。对于两面相同的硬币，则是H=-1×log（1） bit=0 bit。如果不考虑大小写区别，那么如果26个英文字母再加上空格，27个符号，发送信息时，如果每个符号出现的概率相等，并且相互独立，那么每个符号包含的信息将会是H=-log（1/27）bit≈4.75bit。

在这种情况下，再加上大写、标点、其他语言的符号，零零散散的其他符号凑到一起，可以将8比特定义为1个字节（Byte），不过那已经是后话了。

实际情况中，这27个符号出现的概率并不相等，并且符号之间也存在关系，即使不考虑大范围（8个英语符号以上）上字母、单词之间的联系，单个英文符号中的信息熵其实也不过是4.75bit的一半。剩下的50%，就是英文的冗余度。换句话说，在大多数情况下，即使英文中去掉了50%的字母，其实并不影响英语的理解。就像在速记时，经常省略元音字母，却不影响对英语的理解。

解释完信息，香农可以开始认真讲述他关于信息的传递，也就是通信的看法。

图片来源：C. E. SHANNON，A Mathematical Theory of Communication

香农论文中第一幅图就将所有通讯系统模型化，可以用抽象的数学去描述所有通信系统。通讯的过程，就是将信源处的消息（文字、图片、声音等）经过发送器的处理（模拟调制、数字编码等）形成信号，信号在传输过程中受到噪声源的干扰后，变成接收器处接收到的信号，经过接收器的处理（解调、解码等），消息终于到达目的地信宿（人、手机、电脑等）。

香农提出的观点，就好像当年爱因斯坦给物体运动速度划定了光速的上限，他指出，信息传递的速率也是存在极限的，对于特定的信道，被称为信道容量C。如果信息源单位时间产生的熵H≤C，那么存在一个编码系统，使信息能完整传递；如果H＞C，那就不能保证传输结果的完整性。这个定理被称为有噪信道编码定理，或香农定理。

对于大多数情况下能用到的信道中，可以用一个公式计算信道的容量C。

W为带宽，S/N为信噪比。如果用常见的对话来类比，W就好比说话的速度，而S/N就是说话声音和环境噪音的比值。就像在嘈杂环境中小声对话效率很低，而在安静环境中大声说话能让对方辨别你声带的每一丝震动。最终对话的效率C就由这两者决定。

大航海时代

汉明码（hamming code）是一种具有自我纠错能力的编码方式，在这篇论文之前就已经被发明了。香农在论文“高效编码举例”这一部分列举了这种编码方式，并用信息论简洁明快却深刻的解释了它的原理。不过，显然这并不是最高效的编码方式。

横空出世的论文吸引了所有人的目光，而香农定理中H≤C那个小于等于号实在是令人想入非非，香农只是说明存在这样的编码方式，却没有说如何实现它。就好像《海贼王》中罗杰的最后一句话：“想要我的财宝吗，我把它都放在那了，想要就去那吧！”香农定理中那个可能存在的等号，给足了人们信心。而这篇论文中开创性的分析方法就像他10年前的那篇论文，将给编码方式的寻找提供了一些数学依据。自此，信息学寻找高效编码方式的“大航海时代”开始了。

而正是在这个过程中，从继电器到真空管，从晶体管到集成电路，计算机制造水平的飞速发展，让数学这个本来看上去离生活最遥远的学科，最深刻地改变了我们的现代生活。

今天我们使用的二维码，就算有部分损坏也不影响内容读取，这就是因为其编码方式具有冗余，可以让信息不易丢失。而其中编码方式，就是在 “大航海时代”中发明的里德-所罗门码（RS码）。这种1960年发明的编码方式，除了二维码，还应用在光盘、磁盘阵列RAID 6等场景下。

由于RS码的容错机制，二维码具有一定容错能力

虽然有不少具有纠错功能的编码方式被发现，我们也能根据信息论用编码效率给它们论资排辈，但当初香农向大众许诺的“财宝”——接近，甚至达到香农极限的编码方式——始终没有出现。直到1991年法国教授克劳德·贝鲁（Claude Berrou）提出了turbo码。Turbo码是第一个接近香农极限的编码方案，并且作为数学理论，在信息时代的加成下，以前所未有的速度转进了实践应用。在仅仅十余年后的3G，4G中，turbo码就已经飞入了寻常百姓家。

2008年，极化码横空出世，这是首个能达到香农极限的编码方式。工程师埃尔达尔·阿里坎（Erdal Arikan）教授提出的极化码理论，几乎立即被工业界接受。2016年，在激烈辩论后，以华为为首的极化码阵营将极化码编码标准确定为5G信令信道编码方案。到今天，如果你的手机够新，那么已经能享受到5G带来的高速体验了。

从提出理论到进入实用，进入寻常百姓家，不过十年，科学成果到工业成果的转化从没有如此之快。不论是太阳系外探测器向我们传递信息时，还是深埋地下的实验装置探索基本粒子时，甚至只是我们随手翻翻手机时，都离不开信息论的支持。信息论的“大航海时代”快速且深刻地改变了我们生活的方方面面。如此看来，当年在普林斯顿高等研究所时，香农研究的纯数学问题，的确是要比爱因斯坦研究的物理问题要更实用一些。

不老顽童

不过香农本人并没有很多参与这个“大航海时代”。在提出信息论前后，他在密码学上还证明了一次性密钥是无法破译的，这也是近期潘建伟团队量子密钥分发加密通信网络的数学理论基础，但是信息论的成就还是太过耀眼。MIT邀请他去做教授，期待他能带领MIT在信息论中实现更大突破。他的确在信息论上做了一些基础性工作。但给人印象更多的，是他终于回归到自己真正的样子——爱玩的老男孩。

想象一下，在教学楼里撞到某个教授踩着独轮车杂耍的场景，你就知道香农有多爱玩了。这个老男孩也曾像小时候一样，敲敲打打做了很多有趣的小玩意儿。直到老年时，他的工作室里还摆满了各种各样小玩具，有能喷火的小号，能在将其打开时自动关上的箱子，能杂耍的机器玩偶……他还有一个两面一样的硬币，这样，他抛硬币时总能猜对结果了。毕竟，这个问题对于他来说信息熵为0。

纪录片《香农传》中还原的香农的“终极机器”，是一个带按钮的木盒子，拨动摇杆打开盒子后会有一个小手伸出来将摇杆拨下去，关上盒子（图片来源：《香农传》）

“有用是最不重要的事情。”香农这样评论他工作室中的各种小玩意儿。

他是骗人的，他的确尝试了一些非常“有用”的东西。他发现俄罗斯轮盘放置时不可避免有一定倾斜，导致其偏向某个方向的概率更大，但为了分析这个概率需要一定量的计算。为此，他还和爱德华·索普（Edward Thorp）一起设计了历史上第一台可穿戴计算机，并一起到拉斯维加斯赌场检验他们的理论。他们将计算机隐藏在衣物之下，但由于计算机设计有些简陋，他们还不得不时刻忍受轻微的电击。当附带的耳机从耳朵里掉落出来时，旁边的赌客还都被他吓了一跳。不过至于他们有没有以此赚到钱，笔者并没有查证。

他还做过一个能自动寻路的机械小鼠，名为特修斯（Theseus）。小鼠位于一个定制平台的迷宫里，通过平台下方的继电器电路可以控制小鼠的移动，其目标是在迷宫中找到一个“奶酪”目标。小鼠会探索迷宫，并在找到目标之后，记住目标的位置，之后可以更快的找到目标。或者在迷宫形态、目标位置改变后重新学习，规划新的路线。这个小玩具可能是第一个此类人工智能设备。

香农和特修斯平台（图片来源：麻省理工学院博物馆）

他为了玩游戏甚至发过论文。他在1950年发表的一篇论文里描述了如何让计算机下国际象棋。他给出了国际象棋的复杂度，大约是10¹²⁰量级，这样的量级不可能暴力破解，不过通过他在论文中给出的较为明智的算法，可以大幅简化计算——1997年，由这篇论文演化出来的算法，在“深蓝”中运行，成功击败了卡斯帕罗夫（Каспаров）。

被问及有没有想过要把他这些“小玩意儿”商业化时，香农直截了当的回答没有。按他自己的说法，自己是一个没什么好胜心的人，要去商业化的话，一定会亏钱。

信息时代的功劳肯定不能全归功于香农一人，但他在其中肯定占有举足轻重的位置。在被繁杂信息浪花包围的我们中，这名天才的知名度并不高。不过，带入他的性格，可能他也并不在意。毕竟作为一个老顽童，在自己各种小玩意儿的包围下，亲眼见证了建立在自己理论上的信息时代如何改变人们的生活，对于一个数学家、工程师来说，这可能是能想象到的最幸福的事了。

参考链接：

1. http://people.math.harvard.edu/~ctm/home/text/others/shannon/entropy/entropy.pdf

2. https://www.bilibili.com/bangumi/play/ss34520

3. https://www.quantamagazine.org/how-claude-shannons-information-theory-invented-the-future-20201222/

4. https://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon

5. http://nautil.us/issue/50/emergence/claude-shannon-the-las-vegas-cheat

本文来自微信公众号：环球科学（ID：huanqiukexue），作者：王昱