除了猫之外，你还了解薛定谔的什么？（上）

本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：曹则贤（中国科学院物理研究所），原文标题：《文化人薛定谔（上）丨贤说八道》，头图来自：视觉中国

一个科学巨擘的成长哪里需要多少条件呢？不过是生来是那块料子，还碰巧生在有教养的人家，长在有文化底蕴的地方，年轻时上个能算是大学的大学，成年后身边有几个可相互砥砺的杰出同侪罢了。

——曹则贤

薛定谔，20世纪最伟大的物理学家之一，他1926年的波动方程是量子力学的奠基性方程，改变了物理学的进程。他1922年为外尔理论引入虚因子√-1是规范场论诞生的关键一步，后来的波动方程与此一脉相承。薛定谔还是杰出的哲学家、科学理论作家、文化学者，他基于物理学思考的What is life开启了分子生物学并且带来了准周期结构的概念，他的众多科学理论讲座与散文为后世物理学家的成长提供了丰厚的文化营养。

引 子

差不多自100年前起，任何一个学物理的人都会遇到薛定谔这个名字。薛定谔这个名字联系着量子力学的基本方程，即薛定谔方程 。实际上，早在他写下这个惊世骇俗的方程之前，他就凭借着开始了拯救外尔的统一场论。

对于薛定谔来说，薛定谔方程就是虚系数的扩散方程而已。这个方程之于氢原子问题的解是量子力学理解原子结构及元素周期表的钥匙。此外薛定谔还是相对论和统计物理的大家。这些是学物理的人都耳熟能详的薛定谔的事迹。此外，在物理学的恶俗文化部分，薛定谔的名字还同一只不幸的猫联系在一起，出现在一些不正经的和假装正经的物理论述中。

薛定谔还是个有哲学品味的物理学家，且他首先是一个文化学者，他的名为《什么是生命？》的小册子简直是分子生物学的宣言，提供了1957年诺贝尔生理或医学奖和2011年诺贝尔化学奖的思想基础，而他的诸多科学文化讲座集，如《自然与希腊人》《科学与人文》《思维与物质》和《我的世界观》等等，都是后世物理学家的文化营养源泉。

薛定谔还热爱诗歌，翻译诗并且写诗，虽然诗写得不咋地。有一种说法，薛定谔思想之深阔、成就之伟大（range of ideas, greatness of work），世上罕有其匹。

薛定谔小传

薛定谔（Erwin Schrödinger, 1887~1961），奥地利物理学家、文化学者，量子力学的奠基人之一。薛定谔1887年出生于奥地利维也纳，是父母的独子，其父亲Rudolf Schrödinger是个植物学家。薛定谔的外祖父 Alexander Bauer 是维也纳工业学校的化学教授，而外祖母是英国人，因此薛定谔是被姨妈先教会的说英语。

以上这些事实或许有助于我们看清楚薛定谔之所以能通晓多种语言、学术研究能横跨多个领域的早期教育基础。薛定谔上的中学是维也纳著名的学园中学（Akademisches Gymnasium），物理学巨擘玻尔兹曼和小说家茨威格都是该校的毕业生。

薛定谔于1906~1910年期间在维也纳大学跟随著名物理学家Exner（Franz S. Exner, 1849~1926）和Hasenöhrl（Friedrich Hasenöhrl, 1874~1915）学物理。按照德语维基百科的说法，薛定谔于1910年在23岁上获得物理学博士学位（现代意义上的硕士），导师为Hasenöhrl，1911年做了Exner的研究助理，1914年完成了Habilitation（即可以做大学的私俸讲师了）。

1914~1918年第一次世界大战期间，薛定谔在奥地利的炮兵部队中服役。1920年薛定谔到德国的耶拿大学做了著名物理学家维恩（Max Wien，1866~1938，在德语里 Wien 就是Vienna, 维也纳）的助手。注意，Exner、Hasenöhrl、维恩都是一流的物理学家，且他们都有研究黑体辐射的经历，而黑体辐射研究是量子力学的缘起。

1920年秋薛定谔在斯图加特大学获得编外教授职位，1921年获得Bresla（今属波兰）大学的正教授职位，但当年就挪到了瑞士的苏黎世大学，接替此前爱因斯坦和劳厄担任过的理论物理教授位置，1927年到德国柏林大学接替普朗克的位置。薛定谔在瑞士期间倒腾出了著名的薛定谔方程。1933年，薛定谔离开德国到了英国的牛津，同年和狄拉克分享诺贝尔物理奖。

因牛津大学的位置未能协调好，这以后他也去过美国的普林斯顿，1936年回到其祖国的格拉茨大学工作。1938年德国吞并奥地利后，薛定谔逃出奥地利，几经转折，后来定居爱尔兰的都柏林直至1955年，其间就职于都柏林高等研究院，这算是回到姥姥的家乡生活了一段时间。

1956年，薛定谔重回老家维也纳，在那里度过了人生最后的时光。1961年1月4日，薛定谔辞世，享年74岁。薛定谔墓碑的十字架上刻着他的公式，维也纳大学树立的一尊大理石雕像上也刻着他的公式。

图1. 奥地利维也纳大学摆放的薛定谔雕像

薛定谔无疑地是一个不可多得的全才型学者，不过他属于大器晚成型的。他完成了几项重要的科学突破, 也为我们留下了丰硕的思想遗产，散见于他的众多著述中。薛定谔的部分著作目录如下：

1. Abhandlungen zur Wellenmechanik (波动力学), Barth, 1927.

2. Four lectures on wave mechanics (波动力学四讲), Blackie and Son, 1928.

3. Über Indeterminismus in der Physik - Ist die Naturwissenschaft milieubedingt? Zwei Vorträge zur Kritik der naturwissenschaftlichen Erkenntnis (论物理中的不确定性), Barth, 1932.

4. Science and human temperament (科学与人类气质), Allen and Unwin, 1935.

5. What is Life (什么是生命), Cambridge university press, 1944.

6. Statistical Thermodynamics (统计热力学), Cambridge university press, 1946.

7. Gedichte (诗学), Küpper, 1949.

8. Space-Time Structure (时空结构), Cambridge university press, 1950.

9. Science and Humanism (科学与人文), Cambridge university press, 1951.

10. Nature and the Greeks (自然与希腊人), Cambridge university press, 1954.

11. Expanding universe (膨胀的宇宙), Cambridge university press, 1956.

12. Science theory and man (科学理论与人), Dover, 1957.

13. Mind and Matter (思维与物质), Cambridge university press, 1958.

14. Meine Weltansicht (我的世界观), Zsolnay, 1961.

15. Was ist ein Naturgesetz (什么是自然规律)， Oldenburg，1962.

1984年，奥地利科学院出版了四卷版的薛定谔全集（Gesammelte Abhandlungen, Vieweg(1984)），分为：卷1. 对统计物理的贡献；卷2. 对场论的贡献；卷3. 对量子理论的贡献；卷4. 一般科学性及普及性论述。

从上述这个著作目录可以看出，薛定谔是个具有人文情怀的大科学家。此外请注意，薛定谔这个奥地利人可以轻松地用母语德语和英语（薛定谔姥姥是英国人）、法语撰写科学论文，由此也可见薛定谔必是个了不起的文化学者。笔者想说，薛定谔首先是一个文化学者，有不少专门谈论文化与哲学的论述，其次才是一个参与了奠立量子力学以及规范场论和统计力学的物理学家。

薛定谔深受哲学的影响，终其一生致力于研究斯宾诺莎、叔本华和马赫等人的哲学，此外还喜欢研究颜色与博物学。薛定谔在Mind and matter一书中有句云：“The world extended in space and time is but our representation（时空中张开的宇宙不过是我们的表示）^[2]”，此中可见叔本华之名著Die Welt als Wille und Vorstellung（作为意志与表象的世界）的影子。

用量子化条件挽救外尔新世界几何理论

薛定谔从1910年起就开始发表研究论文，内容涉及声光电磁、颜色问题、X-射线、原子与分子物理以及固体比热等，几乎可以说是包罗万象，但都没有获得让他足以成为一流物理学家的研究成果。物理学史一般认为1925年底构造量子力学波动方程是薛定谔成为一流物理学家的辉煌转折点，在这一年还可见未成名因而十分焦虑的他在笔记中诘问自己“你是谁？你到底打算怎么着的？”

不过，从马后炮的角度看，笔者以为薛定谔做出一流工作的时间应是他在1922年关于外尔新世界几何的工作（见于Hermann Weyl, Gravitation und Elektrizität, Sitzungsber. Preuss. Akad. Berlin，465-478，1918），不过他因此挽救的外尔理论要到他1926年的波动方程出来以后有了新量子力学，1927年Vladimir Fock 加上了波函数的变换，Fritz London从量子力学的角度加以再诠释（re-interpretation），1929年外尔重回这个问题，才最终有了规范场论。

有趣的是，外尔1926年初帮助薛定谔解量子力学的氢原子问题确立了薛定谔波动方程的地位，几乎第二年新量子力学就被用于他1918年的理论，让他的那个不成功的尝试成了相对论和量子力学之上的智力挑战和智力成就。1929年，外尔重新回到他1918年思考的问题上，发表了“Elektron und Gravitation（电子与引力）”一文。薛定谔和外尔这两个高人之间的互相帮助，是俗人理解不了的境界。

薛定谔1922年的论文题目是“关于单电子量子轨道的一个值得注意的特性（Über eine bemerkenswerte Eigenschaft der Quantenbahnen eines einzelnen Elektrons，Zeitschrift für Physik 12, 13-23 (1922)），在这篇文章中，薛定谔建议将外尔1918年引入的那个饱受爱因斯坦批评的时空长度变换因子中的γ定义为 ，这可以说是挽救外尔理论的第一步。

爱因斯坦当时对外尔理论的批评是，时空长度变换因子 会导致依赖于历史的原子物理，而这是不可接受的。薛定谔的建议有两方面的意义。第一，因为引入了普朗克常数，这样就把外尔的统一电磁学和引力的努力同量子力学联系了起来（虽然Quantenmechanik这个词1924年才出现）。一俟薛定谔的波动方程于1926年初发表，1927年Fock就补上了波函数变换，有了规范场论。

其二，薛定谔引入中有 ，这带来了这个理论中数系的扩展，这是规范场论这样的理论之威力的源泉（注意，不是，而是。）一些场合下讨论的是，其中“I”是任何恰当定义的unital item。“i”后来用于相对论意义下的时空坐标和电磁势的表示，但不能见到 “i” 就以为是复数，那里是双四元数。（详细讨论见拙著《云端脚下》）。

薛定谔一直思考这个方向的问题，即统一场论，这也是他和爱因斯坦、外尔可为伯仲的地方，他的《时空结构》一书表明他是相对论、统一场论方向的一流学者。顺便说一句，欲学会广义相对论，可将爱因斯坦的Grundlage der Relativitätstheorie（相对论基础），列维-齐维塔的The absolute differential calculus（绝对微分），外尔的Zeit-Raum-Materie（时间-空间-物质），薛定谔的Space-time structure（时空结构）， 狄拉克 theory of general relativity（广义相对论）放在一起参校，没有学不会的道理。或者说，若一个人这五本书读下来还理解不了广义相对论，那他可能就得安心于读通俗演义了。笔者个人的感受是，读这几本书读不懂也是一种享受。

在论文中，薛定谔指出，那个能得到（氢原子）能量谱的量子化条件，，其中J是角动量，是系统在一个周期内的平均动能，可以使得 中的指数对于系统的一个周期的积分是的整数倍。他接着用开普勒轨道、塞曼效应、斯塔克效应、这两个效应的混合，以及相对论质量变化^[3]（的开普勒问题）来验证他这个说法的有效性，当然了推导中少不了一些“Wenn und Aber（如果和不过）”，这就是科学的真实干法。

其实，这些努力的乱凑，用的是经典物理关系 。这里的核心是薛定谔假设电子在原子中只有静电势，从而将静电势eV的积分同轨道联系起来，或者在相对论质量变化（的开普勒问题）一节中，先将二维积分倒腾成，而这就和eV扯上关系了。这样，量子化条件就可以用到 中的积分项上了，得出个近似结果  。

如果电子沿轨道的运动带来 “长度”变化，每个周期过后时空就会有“长度”变化，这是被爱因斯坦给否决了的诠释。薛定谔说，他很难相信这是量子化条件的偶然数学结果而没有深刻的物理意义。注意到有两个量纲为作用量的物理常数，一个是普朗克常数h，一个是，于是薛定谔选择假设 ，因为使得那个变化因子变成了模为1的复数，就能有效避免所谓的电子运动带来的“长度”变化了。笔者以为，薛定谔这么做，其重要的意义在于后来为引力与电磁相互作用的统一理论添加波函数变换就没有任何心理上的障碍了，那是规范场论诞生的关键一步。

量子力学波动方程

薛定谔首先是因他1926年给出的量子力学波动方程而出名的，确切地说是关于电子的波动方程。1926年，薛定谔分四部分发表了“Quantisierung als Eigenwertproblem（量子化是本征值问题）”一文，此外还有“原子与分子力学的波动理论（An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules, The Physical Review 28, 1049-1070 (1926)）和 “海森堡-玻恩-约当的量子力学同我的量子力学之间的关系（Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen, Annalen der Physik (4) 79, 734-756 (1926)）。

这六篇文章，可以说是波动力学的介绍以及对海森堡的“你那波动力学是什么玩意儿”的回复。所谓的薛定谔方程，即，后来成了量子力学的标志。薛定谔方程（1926）、泡利方程（1927）和狄拉克方程（1928）一起支撑起了量子力学大厦。

对于学物理的人来说，薛定谔是如何“推导”出这个方程的，是个非常有趣的话题。一种说法是从玻尔兹曼（薛定谔在维也纳大学的师爷）的方程出发的，注意W是德语Wahrscheinlichkeit（概率）的首字母，也是德语Welle（波）的首字母。

研究波的方程，W当然是主角，则方程可改写为，把W用希腊字母ψ代替，要想让函数 同量子（就是要有普朗克常数h）以及波（就是要有虚宗量函数）的概念搭上关系，可以把玻尔兹曼常数k用替换iħ，这样研究对象就成了。因为作为函数宗量的S/ħ必须是个无量纲的量，故S的量纲必为作用量（action）。那么，经典力学里有量纲为作用量的S吗？还真有！在著名的 Hamilton-Jacobi 方程里就有。将代入这个方程，形式上就能得到薛定谔方程了。

另一个说法是，薛定谔还是从经典的平面波函数出发， 用德布罗意关系，，其中p, E分别是电子的动量和动能，把波函数改造成的量子波函数的形式。薛定谔从电子的能量-动量关系作为波的色散关系约束方程的可能形式出发。如果采用相对论质能关系，则相应的波动方程就是Klein-Gordon方程。

但是，Klein-Gordon方程不能够得到氢原子谱线的精细结构（说白了，精细结构的意思是能量是多量子数的函数），于是薛定谔就放弃了这个方程。薛定谔转而采用低速电子近似的能量-动量关系作为色散关系，于是得到了这样的色散关系对应的波动方程，即薛定谔方程。若采取能量-动量关系作为色散关系，V是电子的势能，选取波函数形式，可得薛定谔方程，其中。

其实，注意到经典物理中有扩散方程（传播方程），在左侧加上“i”就是一维自由电子的薛定谔方程了。薛定谔自己当然是明白这一点的，他1931~1933年有几篇文章就是从扩散方程角度讨论量子力学及其波动方程（参阅Max Jammer, the philosophy of quantum mechanics）。

薛定谔方程被誉为20世纪最伟大的物理学成就之一，按照狄拉克的说法，它包含很多物理以及全部的化学（……much of physics and, in principle, all of chemistry）。将该方程用于氢原子，薛定谔得到关系 E=E(n, l, m) ，即电子轨道能量是三个量子数 (n, l, m) 的函数，配合泡利引入的自旋量子数m_s，这四个量子数 (n, l, m；m_s) 之间的关系完美地再现了元素周期表的结构。这可看作是薛定谔方程正确的一个有力证据。

薛定谔在“量子化是本征值问题”一文中努力要为他得到的方程找到正当的理由，故而这篇文章长达整整140页^[4]。当然了，最小作用量原理是经典力学的唯一原理。薛定谔花了大量的功夫构造能得到薛定谔方程的作用量表达式。讨论具体细节超出本书的范围了，有兴趣的读者可以参阅薛定谔的原文，或者拙作“薛定谔方程该写成什么样子”以及“色散关系与波动方程构造” （待发表）。

薛定谔方程可以说是科学史上最重要的方程之一。它关于氢原子的解是对它的“正确性”的第一个支持。记住薛定谔方程并试着照葫芦画瓢演算一遍如何解氢原子问题，你会发现你的谈吐从此就不一样了。

注释

[1] Deus factum sum，我就变成了神——薛定谔在what is life？一书中引用了此句拉丁语

[2] 意为在我们头脑中的表象。

[3] 这是个历史遗留的错误概念

[4] 建议教量子力学的老师抽空读读德布罗意1925年的Recherches sur la théorie des quanta（量子理论研究，105页）和薛定谔1926年的Quantisierung als Eigenwertproblem（量子化是本征值问题，140页）, 都有英文版。

本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：曹则贤