正确的提示信息

扫码打开虎嗅APP

从思考到创造
打开APP
搜索历史
删除
完成
全部删除
热搜词
2024-07-11 19:50

徽州的数学世界

本文首发于《读书》2024年6期新刊,授权虎嗅转载,更多文章,可订阅购买《读书》杂志或关注微信公众号:读书杂志 (ID:dushu_magazine),作者:段志强,原文标题:《〈读书〉首发 | 段志强:徽州的数学世界》,题图来源:视觉中国

文章摘要
本文介绍了徽州地区数学发展的历史,从徽商程大位编写《算法统宗》开始,到后来的数学家们涉足天文历算问题。

• ➕ 徽州数学家们在实用计算和天文历算领域展现出不同的数学兴趣和研究重点

• 🌌 数学家们纷纷受到西方天文历算的影响,挑战传统宇宙观,表现出对数学领域的思考和困惑

• 🧐 文中呈现了徽州数学家们之间的情谊和交流,展现了他们在数学道路上的探索和研究精神

本文从独特的地方视角,进入16~19世纪徽州数学爱好者们的世界。在这个可以折叠为两段的世界中,前一段他们的计算兴趣首先来自置身其中的热闹的商业生活,也与政府行政管理中涉及人口、土地面积、赋税的数字息息相关。后一段是与西方天文历算的相遇,他们的关注点从实用数学转向天文历算,不得不面对传统宇宙观之下历数的深深困惑。书写这一群体的成就,体味其生活情味、政治情怀、梦想和失败,是将历史与现实联系起来的最真切的方式。



一五七三年前后,一位商人结束了半生漂泊,回到他位于徽州府休宁县的家乡。像千千万万的徽州男性一样,他老早就出去做生意,足迹遍及湖广、江南。在漫长的商业生涯中,他始终保持着自己最深的爱好:数学。


这位徽商名叫程大位(一五三三至?)。他自幼就对数学感兴趣,经商期间更遍访名师,广搜数学著作,积累了许多资料。回到故乡之后,程大位用二十年时间编成一部十七卷的数学书,于一五九二年出版,题名《直指算法统宗》。日后,《算法统宗》被反复翻刻、重编、引用。它在数学世界里的地位,就如同四书五经在科举世界里的地位一样。


《算法统宗》书影


以今天的眼光来看,《算法统宗》较少涉及高深的数学讨论,主要内容是日常生活中的计算。按照《九章算术》的古老传统,这些计算仍被分为方田、粟布、均输等九类,不过程大位一生经历的嘉靖、隆庆、万历三朝,正是历史的转折时期,数学书的旧瓶子,也装满了新酒。比如卷二这道题:“假如今有赵钱孙李四人同商,前后付出本银。一、赵于癸亥年正月初九日付出本银三十两,二、钱于乙丑年四月十五日付出本银五十两,三、孙于丙寅年八月十八日付出本银七十两,四、李于丁卯年十月二十七日付出本银九十两。四共本银二百四十两。至戊辰年终,共得利银一百二十两,问各该利银若干?”合伙经商、本利分摊,对于徽商来说是必然会遇到的计算。


商业并不是《算法统宗》的唯一关注,政府行政中的数学占据了更大的比例。程大位生活的时代,最大的“政治”要属一条鞭法的展开,改革的举措,诸如清丈土地、赋役折银等等,无不涉及巨大的计算量。例如,百姓担负的徭役,原本要按照户等指派百姓亲身应役,后来这些徭役逐渐折钱、折银,再由官府雇人充当;田赋原本征收本色,即粮食等实物,后来大部分也转变为折银,这被称为“赋役货币化”。既然折银,必然要确定折银的数额、等次、依据等等,涉及定额、排序、分配诸多计算。学者早已指出,一条鞭法催生了大量文书、票据,这些凭证上最重要的内容就是数字,包括但不限于人口、土地面积、税负等等。


《算法统宗》里的幻方


延续几十年的赋役改革,伴随着海量的数据生产与数据交换。这种背景下,像卷二这种简单的题目,已经不能应付实际行政需求了;能做出卷九所列更复杂的题,可能才勉强够格去做书吏。当然,行政数学中最多也最重要的计算,应属丈量土地,即“方田”。一五八一年,就在《算法统宗》编写过程中,清丈在徽州展开。《算法统宗》卷三“方田”部分纠正、发展了前辈数学家的方法,画出了几十种土地形状,各自说明如何将它们化约为方、直、圭、梭、梯、斜及圆、碗、环各种,再加以计算,可称穷形尽相,堪称丈量土地的算法指南。


丈量土地常用的工具是步弓,是一种形似弓的测量工具,一弓就是一步,一步五尺,三百步为一亩。但步弓使用起来麻烦,积少成多之后误差也比较大,程大位发明了一种步车,《算法统宗》详细画了图纸,两旁还用篆书写着:“宾渠制就心机巧,隶首传来数学精。”相传黄帝的史官隶首发明了数学,宾渠则是程大位的号,他把自己跟隶首放在一起,足见自豪。程大位的步车实质上是一种大型卷尺,他也因此被称为卷尺之祖。


在这一卷的末尾,程大位暗暗塞进去一篇《亩法论》。文中说,“前贤亩法”以二百四十步为一亩,万历九年清丈时,休宁县的总书(书吏首脑)擅自改变成法,将田分为四等,上等一百九十步为一亩,中等二百二十步,下等二百六十步,下下等三百步,其他不同用途的土地也都各有等次。程大位说,就算田地有厚薄、征役有轻重,也应该“就土田之高下,别米麦之多寡”,而不应该玩弄数字,在统计上做文章。


《亩法论》后面,又加了一道奇怪的题目:“原用古弓,每步五尺,今以钞弓校之,只有四尺八寸。问古弓百步,该钞弓若干?”就数学而言,这道题无比简单,却被放在卷末压轴。在卷四“粟布”部分,程大位编了一首《官粮带耗歌》,说“官粮带耗在其中,一石例加七升同”,将一石七升的加耗作为惯例记录下来,后面还列了四道题。考虑到加耗是地方官贪墨的重灾区,这样的记载也很有意味。如此看来,《算法统宗》又何止是一部数学书。



《算法统宗》的计算工具是算盘,书中总结了不少算盘的用法和口诀,并首次记录了用算盘开方的方法。算盘发明的时代还有争议,但它的广泛普及则可确定,就是在程大位生活的时代,《算法统宗》在其中起了很大作用。算盘和珠算流行的背景,是社会生活的计算量在飞速增加。


赋役货币化实际上是一个更大的历史进程的一部分:在所有社会活动中,货币化的程度都加深了。随着美洲及日本白银的涌入,白银在中国历史上第一次作为政治与商业的主流货币,与铜钱一起为社会提供流通性。货币经济同时也是数字经济——这里的数字不是digital,就是“数目字”的意思。以物易物的语境中,物品和物品直接比较,运用之妙,在于一心,而货币经济之下,商品需要先转化为数字,才能完成交易。有数字就必然会有计算,用到数学。


徽州文书中所见的大量民间组织,也必须用到数学。比如,村里的石桥需要维护,几个人结成路桥会,各自捐一点钱,拿出去借贷生息,形成一个小型基金,盈余用来修桥;还比如,有人需要用钱,召集一个钱会,亲朋好友凑钱给他,再从许多种还本付息模式中选择一个,每年定期轮流收付款;还有,家族的义田需要经营,租佃、买卖、分割等等,诸如此类都要计算。更不用说,一切契约、账簿也都以数字为中心。可以说,一个商业社会必然也是一个数学社会。


明代徽州土地产权变动和管理文书


日后,明代数学背负了与世界脱节的历史责任。关于明代数学的衰落,徐光启有个著名的说法。他说算数之学只是在“近世数百年间”才退步,原因有二:一是“名理之儒,土苴天下之实事”,理学家鄙视实用之学;二是“妖妄之术谬言数有神理,能知来藏往,靡所不致”,另外一些人则把数学神秘化、宗教化。这个说法当然深有见地,不过《算法统宗》的流行似乎还表明另外一个原因,即实用计算的巨量需求,驱使数学头脑忙于应付现实问题。换句话说,与徐光启的看法相反,正是丈量土地、商业运转等“天下之实事”,将数学局限于日常计算。


实际需求推动科学进步,本是世界通例。在程大位的时代,三角几何学正在欧洲蓬勃兴起:就在程大位出生的一五三三年,雷吉奥蒙塔努斯(一四三六至一四七六)的正弦余弦函数表出版;而在程大位写作《算法统宗》之时,巴塞洛缪·皮提斯卡斯(一五六一至一六一三)也在写作他的《三角几何学》,书中首次提出了“三角学”这个名词。这两位都是德国天文学家、数学家,他们的研究很大程度上出于航海与地图绘制的需要。只不过,行政管理和商业计算,与航海、制图需要的是不同的数学。


《算法统宗》出版的时候,传教士利玛窦已经在中国活动整整十年了。很快,西洋的新数学与天文历法一起传入中国,引起持久的讨论,成为明末清初近百年文化史的焦点,而引起这个焦点最后爆发的也是一位徽州人,他就是大名鼎鼎的杨光先(一五九七至一六六九)


(明)徐光启、李天经《西洋新法历书》


杨光先出生在徽州歙县,他家世袭新安卫中所副千户。人到中年之后,杨光先遵父命将职位让与弟弟承袭,自己到京城去做生意,很像是徽州人的常见人生轨迹。不过到北京之后,他很快转而积极参与政治,多次以布衣身份弹劾臣僚,时间甚至跨越明清两朝,又跟一般徽州人大不相同。


康熙三年(一六六四),杨光先上疏抨击西教西历,掀起康熙历狱,是中外交流史上的里程碑事件。弹劾成功后,杨光先被任命为钦天监监正。他屡次辞任,理由主要是自己不具备历算能力,所谓“止知历理,不知历数”,他说的“历理”,主要是历法背后的文化正统和政治秩序,换句话说,杨光先懂政治不懂业务,只红不专。果然,他上任以后,出现多次工作失误,到康熙七年(一六六八),传教士与杨光先实测赌赛,杨光先及其下属全败,西人和西历重回钦天监。


(清)徐扬《日月合璧五星连珠图卷》里所画的北京古观象台


但再不懂,杨光先也不可能对天文历算一无所知。作为军事世家,中国传统军事教育就包含天象、星占方面的内容;他在徽州生活了四十来年,本身也曾从事商业,多少也有些数学基础。只是在需要“测天”的时候,这些可以用于“量地”的基础算术既无招架之功,更乏还手之力罢了。


杨光先的失败有一个始料未及的后果。雍正帝记录的《圣祖仁皇帝庭训格言》保存了一段康熙帝的回忆:“尔等惟知朕算术之精,却不知我学算之故。朕幼时钦天监汉官与西洋人不睦,互相参劾,几至大辟。杨光先、汤若望于午门外九卿前当面赌测日影,奈九卿中无一知其法者。朕思己不知,焉能断人之是非,因自愤而学焉。”康熙皇帝一生的数学兴趣,确实跟一个不怎么懂数学的徽州人有关系。


杨光先赌赛失败,被判处死,康熙帝宽宥他,令他罢职还乡。但杨光先没能活着回到徽州,才走到山东德州就病死在大运河上了。杨光先去世的这一年,清代最重要的数学家梅文鼎(一六三三至一七二一)已经年近不惑,但还只是地方上一个普通的数学爱好者。


梅文鼎不是徽州人,不过他出生在徽州东邻宁国府宣城县南乡柏枧山口坐吉村,与徽州同属皖南,地域相邻而文化接近。梅文鼎小时候就跟他的父亲和塾师夜观天象,后来又与两个弟弟梅文鼐、梅文鼏一起向同乡道士倪正学习天文历算。康熙历狱在北京如火如荼的时候,梅文鼎在宣城看到倪正的一本《捷田歌括》,不久自己也写了一本《方田通法》,不用说,都是丈量土地的应用题集。虽然也学过历法,不过这时候梅文鼎的知识仍只限于中历,要到康熙十四年(一六七五)去南京乡试时看到回回历法和传教士带来的西学书,他的测天之术才得以进展到另一层次。梅文鼎在数学史上声名显赫,《畴人传》称其为“国朝算学第一”,大概没有争议。他对西学的接受和发扬,也推动了清代以西法测天的数学潮流。


一七二一年梅文鼎去世。三年以后,戴震(一七二四至一七七七)出生在徽州休宁县隆阜村。他出身徽商家庭,少年时也曾一样出门学徒。戴震的治学先从数学开始,第一部作品名为《筹算》,作于二十二岁,后来改题为《策算》。筹算、策算都是用算筹来计算,是一部算学书。


二十六岁时,戴震写了一封《与是仲明论学书》,堪称他一生为学纲领,其中提到研究经典的难处及入手途径,第一条就是“诵尧典数行至‘乃命羲和’,不知恒星七政所以运行,则掩卷不能卒业”,最后一条又提到“中土测天用勾股,今西人易名三角八线”云云,两处跟数学有关的学术理想都是测天。一七七三年,戴震入四库馆,负责分校算经诸书。戴震入京时,衣服行李都未带齐,仅仅“挟策入都”,这里的“策”可能说的就是算筹。关于戴震的算学成就,我们只需举出《畴人传》的说法就可见一斑:“盖自有戴氏,天下学者乃不敢轻言算数,而其道始尊。”


(清)阮元《畴人传》书影


戴震的数学最早是从江永(一六八一至一七六二)那儿学的。江永是婺源人,今天划归江西,明清一直属于徽州。江永的数学则来自梅文鼎,他最重要的数学著作就题作《翼梅》,意为梅文鼎之羽翼。在江永门下,除了戴震之外,金榜、程瑶田等人都有历算著作传世。钱穆《近三百年学术史》讲到梅文鼎、江永、戴震等人,说“当时徽、宣之间,好治天算格致之学,其来已旧”,说的就是徽州、宣城的这批关注天文的数学家。



“测天”的兴趣一旦传开,就不是“量地”的数学所能限制的了。江永、戴震以后,徽州的数学家们热心讨论的,就都成了天文历算问题。


一七九八年,戴震去世已经二十年。这一年秋天,徽州歙县瞻淇村的汪莱(一七六八至一八一三)去南京参加乡试,结果没考中,回来以后心情郁闷。他的同乡好友巴树谷为了开解他,出了一道数学题给他,汪莱一时没做出来。第二年秋天,巴树谷次子夭折,内心苦痛,汪莱想要安慰朋友,想起还有一道题,就花三千字篇幅演算了出来,希望能转移一下朋友的注意力。这道题的关键环节,如果用今天的数学语言翻译出来,就是:假设已知一个角度的正弦,问如何求得这一角度五分之一角的正弦。


汪莱后来著成《衡斋算学》七卷,这道题的解法成为这部书的第三卷,卷首的小序交待了上面的这段情谊。与此相类,《衡斋算学》每卷都有一段小序,每段小序背后都有一段故事。


《衡斋算学》书影


第一卷小序说,丙辰(嘉庆元年,一七九六)仲冬,巴树谷请他推求“黄赤之交变,寻弧角之比例”,黄道和赤道的角度问题是天文历算的基础,数学上属于球面三角学。他试了多种方法,左试右试不得要领,最后放弃成法,另辟蹊径,才得以“通法定例”,寻出解法。巴树谷一见,“为之鼓掌”。


第二卷跟另一位歙县同乡江玉有关。小序说,汪莱初识江玉时,江玉就给他出了一道“以勾弦和与中容求诸数”的题目,是勾股面积方面的问题。这类题目梅瑴成、丁维烈已经提出过两种解法,汪莱认为他们算的都不对,但当时他“思绪不来”,被江玉大大鄙视了一番。直到嘉庆三年(一七九八)春天的一个雨夜,他与巴树谷再次参详,才想到解法。刚好隔日江玉来,看到汪莱的演算,大家相视而笑。


第四卷接续第一卷的主题,继续探讨球面三角。小序说,“算师”总在研究算学,以防被弟子带来的难题给难住。嘉庆四年(一七九九)夏天,汪莱的同族汪应镛出游,想要带几道难题去找“算博士”踢馆,来找汪莱帮忙。汪莱觉得,最难的数学就是球面三角,“穷形固难,设形亦难,稍不经意,动乖其方”,就把他在这一领域的心得写成一卷,加上以前写过的《递兼数理》,交给汪应镛去“广赠算师”。


嘉庆六年,汪莱到扬州,在翰林秦恩复家中教馆。在扬州,他与当地学者江藩、焦循等人过从甚密,前后两月。临别之际,他与江藩探讨数学,内容后来成为《衡斋算学》第五卷,专论方程式的根是否“可知”的问题(所谓“可知”,指的是方程有一正根;“不可知”,指的是无正根或有一个以上正根)


离开扬州之后,汪莱前往湖南,作南岳之游。途中遇到连阴雨,三昼夜不能上路,他只能做题排解寂寞。题目延续第三册的思路,改求三分之一角的正弦。与他同行的有一位同族本家,一位仆人和他的儿子,车夫二人;一同躲雨的,还有“说因果一人、弄幻术三人、女媒一人、车夫二人”,这几位“或歌或叹、如梦如痴”,汪莱思念起朋友巴树谷,他也在想我吗?做朋友给出的数学题,是他思念朋友的方式。这是第六卷。


与汪莱关系最密切的巴树谷,是歙县渔梁人,金石学家、篆刻家巴慰祖之子,道光《歙县志》说他书画有父风、兼通音律,有些印学著作会提到他的名字。一见面就给汪莱出难题的江玉,地方志只说他做过溧水教谕,事迹一字不存。拿着球面三角的题目到处踢馆的汪应镛倒是在《歙县志》里有一篇小传,内容是他出任四川泸州州判时,如何纠正当地土司的僭越之举云云,其中不但没有数学,连相关的天文历算或音律也一概没有。但这些人最为关心的三角学问题,也是测天所必备的数学知识。



因为商业的缘故,徽州人的足迹遍及大半中国,尤其是新安江到大运河南段,即徽州—杭州—苏州—扬州一线,既是明清时期的商业中心地带,也是徽州人分布最为集中的区域。出身徽州的数学家在这些地方的活动很多,这些地方的数学家也多与徽州人有关。即如汪莱,《衡斋算学》中相当部分都源自他在扬州的交往。汪莱还和李锐(一七六九至一八一七)、焦循(一七六三至一八二〇)被称为“谈天三友”,另外两位中,焦循是扬州人,因为年幼时在经学老师的家里见到梅文鼎的著作,从此习算,他的几种数学书合刊为《里堂学算记》。李锐是苏州人,小时候在学塾中偶然翻出《算法统宗》,因而燃起数学兴趣,日后他除了个人的学术建树之外,还参与了《畴人传》的编纂。


在扬州,汪莱住在翰林秦恩复家中。秦恩复的外甥罗士琳(一七八三至一八五三)本是徽州歙县人,长居扬州,这时得以从学于汪莱,转向天文历算之学,后来他还编了《续畴人传》六卷。汪莱在扬州还与另一位歙县人郑复光(一七八〇至?)多有往还,郑复光同样热衷于演习天算,后来致力于光学,著成光学著作《镜镜詅痴》,还制出了中国第一台天文望远镜。


自大历史的眼光来看,前面提到的人物都各有标签。但从徽州地方社会的角度视之,他们都生活在一个商业气息浓厚的地方,都与徽商有密切的联系,甚至不少人本身就是徽商,在噼里啪啦的算盘声中,逐渐升腾起色彩多样的数学梦想。在他们或深或浅的数学人生中,有率真纯粹的一面,也都背负了额外的期待。


以杨光先为界,徽州的数学世界呈现出两种不同的面貌。杨光先之前,是程大位的时代,以本土流传的实用数学为主,平面面积、简单方程应用最多;梅文鼎之后,是江永、戴震、汪莱们的时代,受到西学强烈影响,重在天文历算,三角函数是最受关注的内容。杨光先之前,数学头脑们背负的使命是实用计算,应用的领域首先是行政管理,然后是商业。杨光先之后,因为新的天文历算挑战了中国传统的宇宙观假设,困扰数学家们的问题也随之升级了。


梅文鼎、戴震出于不同的理由,都倾向于证明数学和历算领域的“西学中源”,曾广受现代学者的议论。汪莱也表达过他的困惑:虽然黄赤道交变的数学问题解决了,但“仰观星宿,推步盈虚,历数算计,皆所不应”,计算结果跟观测结果无法对应,汪莱对此十分不解,其根源大概就在于他仍相信传统的宇宙模型,当然就和数学计算的结果不能相容。


今年是戴震诞生三百周年。几个月前我到徽州拜谒戴震墓,发现从戴震故居(今属黄山市屯溪区)到程大位故居(同属屯溪区,这里今天建了一座珠算博物馆),车程十几分钟而已;再到汪莱的歙县瞻淇村,车程半个小时。从瞻淇村向西十来分钟,可到巴树谷的家,今天以他更著名的父亲命名为巴慰祖故居。其他如杨光先、江玉、汪应镛、郑复光等,无论是否还有故居可以指认,总归都住在一个较小的地理范围之内。区区百里之内的一个区域,见证过数学史的辉煌、数学家们的情谊,也隐藏了数学发展道路上的不能承受之重。

本内容为作者独立观点,不代表虎嗅立场。未经允许不得转载,授权事宜请联系 hezuo@huxiu.com
如对本稿件有异议或投诉,请联系tougao@huxiu.com
打开虎嗅APP,查看全文
文集:
频道:

支持一下

赞赏

0人已赞赏

大 家 都 在 看

大 家 都 在 搜

好的内容,值得赞赏

您的赞赏金额会直接进入作者的虎嗅账号

    自定义
    支付: