正十二面体的一个最基本谜题，被破解了

本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑，题图来自：《奇异博士》

今天，让我们先从一则特殊的“童话”故事开始：

在一个正四面体星球的一个顶点上，住着一位数学家，在这颗星球的其余顶点上，各有一枝玫瑰。数学家有一只羊，每天他都会带羊散步，他不想转弯只想走直线，且不想经过其他顶点，免得羊会吃掉那里的玫瑰。请问：有没有这样一条散步路径，可以让数学家的羊沿着直线出发后，既不会破坏玫瑰，还能在安全返回家中？

如果你不知道问题的答案，请先别着急，再来看这个：

在一个正十二面体星球的一个顶点上，住着一位不爱社交的数学家，在星球的其他顶点上，也都各有一家住户。每当数学家想出去散步时，总是害怕会经过其他住户的家而与他人碰面。因此他开始为自己设计路程，想要找到这样一条直线路径，可以在既不经过别人的家，还可以返回到自己家中？

这两个问题听起来似乎很像，但它们是否有着相同的答案？

其实，我们今天要讲的，正是几位数学家，对于发生在这些”奇怪星球“上的”奇怪的散步需求“问题的破解。

一

正三角形、正方形、正五边形等图案，或许是我们在学校接触到的最早的几何形状。理论上讲，这种每条边的长度、每个角的大小都相等的二维正多边形可以有无穷多个，只是随着数字的增大，它们越来越接近于一个圆。

正多边形。素材来源：Wikipedia

但是当从二维提升到三维谈论正多面体时，相等的性质除了边和角之外，正多面体上的每个面也必须都相等。与正多边形不同的是，正多面体的种类并不是无穷多个，而是最终可被分为五种：正四面体、立方体、八面体、二十面体和十二面体。

 正多面体。素材来源：Wikipedia；图片设计：雯雯

无论在数学还是在艺术上，这些正多面体都扮演了重要角色。人类对正多面体的研究已经持续了至少两千多年，然而在数学家眼中，这些几何结构仍存在许多未知问题，并总能从这些特殊的结构中发现一些“新鲜事”。

数学家Jayadev Athreya与他的同事就对研究正多面体非常热衷，自2016年开始研究以来，他们已经提出了一些新的想法，并发现了一些新的定理。不仅如此，Athreya等人还解决了一个已经困扰了数学家一个多世纪之久的问题，这是一个关于正十二面体的最基本的问题。今年5月，他们将结果发表在了《实验数学》杂志上。

二

Athreya所研究的问题，正和文章开头的两则“童话”有关，即假如我们生活在一个正多面体世界，有没有可能存在这样的直线路径，可以让你从正多面体的某个顶点出发，顺着这条直线一直前行，可以在不经过其他任何顶点的情况下，返回到原点。

在研究正多面体的这种直线路经问题时，数学家会用到的一个基本想法就是将这些多面体展开。以正四面体为例，它的展开是一个由4个三角形组成的等边三角形。

 左：正四面体的展开图，恢复正四面体只需相同颜色的边进行折叠；右：两个正四面体的展开图可以通过将其中之一旋转180°而进行结合。素材来源：J Athreya et. al；图片设计：雯雯

如上图左边所示，当我们想要将正三角形恢复成正四面体时，只需将颜色相同的边对着粘合即可；而要将两个展开图形结合，则只需将其中一个旋转180°，再将它们拼在一起即可（如上图右所示）。如果继续向各个方向无限地进行这种结合，就能将这些图形密铺到整个空间。

现在，在正四面体上的直线问题被演变成了，我们是否可以在展开图上画出一条直线，直线所连接的两点具有相同的颜色？

其实，对由三角形构成的正四面体、八面体、二十面体，以及由正方形构成的立方体，数学家们早已知道这个问题的答案：对于这四种正多面体来说，从任何一个顶点开始沿直线前进，都必定要经过另一个顶点才能重返原点。这意味着，“正四面体星球”上数学家是无法阻止种植在其他顶点上的玫瑰被羊吃掉的厄运的。

那么，第二个故事中的“社恐”数学家，是不是也同样无法如愿进行想要的散步了？

其实一直以来，并没有人知道由12个五边形组成的正十二面体在这个问题中的情况。与其他四种正多面体相比，正十二面体有一个显而易见的不同：对于正四面体、立方体、八面体和二十面体，构成了它们的图形（三角形和正方形）可以密铺整个空间；而正十二面体的展开图形（正五边形）却不能做到这一点。

 正三角形、正方形都可以无缝隙密铺空间，但正五边形却无法做到这一点。素材来源：J Athreya et. al & Wikipedia；图片设计：雯雯

三

然而现在，我们终于知道了剩下的那种情况的答案。Athreya和论文的合著者利用优雅简洁的图形和现代计算机方法，为正十二面体这种特殊结构找到了答案：正十二面体上的确存在这样的直线路径（如下图所示的一种可能），不仅如此，这样的直线路径在正十二面体上有无穷多个。

 正十二面体上存在这样的直线，它从一个顶点出发可以返回这个顶点，且无需经过其他任何顶点。素材来源：J Athreya et. al；图片设计：雯雯

如果这样的路径有无穷多个，那么要如何将它们列出呢？

这里，研究人员用到的一个关键概念是数学里的“等价类”。它说的是，对于任何一个集合的数学对象，如果在集合上定义了等价的概念，就可以将集合中的元素分成彼此等价的子集。

比如以自然数集合1, 2, 3, ……来说，它既包含无穷多个偶数2、4、6、……，也包含无穷多个奇数1、3、5……，对于这偶数或奇数这两个类，我们可以分别通过从0或1开始，向每个元素添加一个偶数来获得。在正十二面体的直线路径例子中，数学家根据的是不同的对称类型将它们分类成子集的。按照这种分法，他们发现正十二面体上的无穷多个路径可被分为31个等价类。

图中所示的是表示第1、2、3、25个等价类的路径例子，可以看出第25类路径非常长。素材来源：J Athreya et. al；图片设计：雯雯

四

现在我们终于知道，“正十二面体星球”上的那位“社恐”数学家可以安心地制定散步计划了，他有无数种选择可以满足他只走直线，且不遇到邻居的散步需求。新的结果找到了长期以来缺失的那块多面体上的直线路径问题的最后一块拼图。而这些研究结果也再次提醒我们，即便是我们已经研究了数千年的问题，也有可能出现新的惊喜。

参考来源：

http://userhome.brooklyn.cuny.edu/aulicino/dodecahedron/#12

https://www.youtube.com/watch?v=G9_l8QASobI

https://publications.mfo.de/bitstream/handle/mfo/3737/snapshots-2020-003.pdf

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-report-new-discovery-about-the-dodecahedron-20200831/

本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：佐佑