价投大师出题：巴菲特的必胜骰子

本文来自微信公众号：CxEric的读书与投资笔记 （ID：cxericreading），作者：CxEric，头图来自：视觉中国

在翻阅巴菲特、芒格、格雷厄姆等人的传记和著作时，我发现他们都曾出过一些有趣的“考题”，或是用来跟朋友们打赌，或是纯粹做一下“智力体操”，又或是借题目来解释一些不易察觉的人生和投资道理。

我觉得这些题目颇为有趣，于是试着搜集了一些，也尝试找出这些故事的出处。

这些题目包括：

1. 巴菲特的生日悖论；

2. 巴菲特的必胜骰子；

3. 芒格的谜语；

4. 格雷厄姆的陷阱。

如果你有兴趣，不妨也试着挑战一下。

不过，如果你对题目的严谨性有质疑，我建议不妨姑妄观之就好。

如果你已准备好了，那么：测试——开始。

一、巴菲特的生日悖论

一场聚会中有25人在场，请问至少有两人同月同日生的概率是多少？

这是一个经典的概率问题，也被称为“生日悖论”，因为它的答案很反直觉。

巴菲特曾用这个悖论来跟人打赌。

根据《Buffett: The Making of an American Capitalist》一书：

在一次格雷厄姆信徒聚会上，有25名会友参加，巴菲特跟凯洛·卢米斯打赌，参加的人中至少有两个人出生日期一样，最后证实巴菲特的判断是正确的，让凯洛非常惊讶。

“这个简单（但让人惊讶）的解释是，这种情况发生的概率有60%。”

巴菲特是对的，更准确一点来说，这个概率应该是57%——这个数字依然会让很多人惊讶，这是怎么计算的？

作者没有展示计算过程，但ChatGPT给了我一个详细的解法。有兴趣的朋友，可以划到后面阅读。

我觉得这个题目颇有意义，它再次说明了：

1. 概率比想象中的更不直观；

2. 人类天然地不习惯使用概率思维。

即便是曾在概率论考试拿过高分的人，在生活中也很容易错判概率，一个原因是我们倾向于使用直觉来处理信息，而不习惯强制大脑进入所谓的“系统2”进行思考。

另外一方面，我们都不擅长对知识进行迁移，尤其是将知识从书本、考场迁移到现实生活——我们的大脑似乎已经默认，这是由一道墙阻隔开的两个世界。

在股市中，这类简单的概率错判很常见，譬如：

过去20年有N年的开门红，所以今年开门红的概率是N/20；某只股票已经跌了50%，所以它再跌20%的概率已经很低。

——这类概率估算，只是简单的直觉判断。

另一个有趣的事情是，我将这个题目发到雪球时，有网友质疑这不像是巴菲特会问的题目，理由是，“老巴考虑的都是小学算数。”

这可能是一种刻板印象。

不过，我能理解这种印象的由来：一方面，巴菲特经常强调，投资不需要复杂的计算；另一方面，巴菲特的大多数名言都有一种“大道至简”的美感，因而会让人感觉，巴菲特似乎从不碰复杂的数学题。

不过，从各种公开信息来看，巴菲特本人的数学能力应该是非常（非常非常）好，而且他似乎还很喜欢思考数学问题（尤其是概率）。

对了，以下是AI给出的计算过程。

不需要看过程的朋友，可以直接划走。

假设有25个人，每个人的生日是独立且等概率地从365天中选取的。我们可以计算没有两个人生日相同的概率，然后用1减去该概率得到我们要求的答案。  

第一个人的生日可以是任意一天，概率为1。  

第二个人的生日不能与第一个人相同的概率是364/365，因为有365天中的1天与第一个人的生日相同。  

第三个人的生日不能与前两个人相同的概率是363/365。  

以此类推，第25个人的生日不能与前24个人相同的概率是341/365。  

因此，没有两个人生日相同的概率为(364/365) * (363/365) * ... * (341/365)。  

那么，至少有两个人生日相同的概率就是1减去上述概率，即：  

1 - (364/365) * (363/365) * ... * (341/365) ≈ 0.5708，约为57.08%。  

因此，在25个人中，至少有两个人生日相同的概率约为57.08%。  

二、巴菲特的必胜骰子

巴菲特有三个奇怪的骰子，数字大小不一、分布不均，请你在观察一番后选一个，然后巴菲特再选一个。

接着你们各自用自己的骰子，进行20轮的掷骰子比大小，看谁获胜的轮次较多。

不管你选哪个，巴菲特都有把握最后能赢你。

这段故事我称之为“巴菲特的必胜骰子”——这个故事见诸于不同资料，有不同人物和故事，可见巴菲特已经多次拿这个骰子“戏耍”不同人，但我最好奇的是一个细节：这个骰子长什么样？

据《Buffettl：The Making of an American Capitalist》一书，负责保险业务的约翰·拜恩跟巴菲特在华盛顿的大学俱乐部碰面时，巴菲特带了三个骰子，上头的点数与一般骰子不同。

巴菲特提出：拜恩可以挑一颗他想要的骰子，巴菲特则会从剩下的骰子中挑出一颗骰子。

巴菲特向他保证，如果能够掷20次，巴菲特一定会赢。

“我拿出我的HP财务计算器”，拜恩回忆，“我并不想要在本业上丢脸。”

“我计算了概率，选择其中一颗骰子，巴菲特则拿了另一颗，结果他赢了14次。

然后他说：“你想要再玩一次吗？赌个午餐？”

所以这一次我挑了巴菲特赢的骰子，这次他赢了16次。

我又拿出计算器算了一下，他一脸得意的样子坐在那里。”

传记作者说，原因在于，这些是非常特别的骰子，“不管是哪颗骰子，剩下的两颗骰子中，都会有一颗能够赢过选到的骰子，如果你选对了骰子，丢了足够的次数，你就不可能输。”

其余玩过这些怪异骰子的，还包括两届桥牌世界冠军沙伦·奥斯伯格、比尔盖茨、《滚雪球》的作者，以及曾击败赌场的数学天才爱德华·索普。

《Bill Gates speaks：insight from the world's greatest Entrepreneur》写到，巴菲特曾邀请比尔盖茨玩这个骰子游戏，但比尔盖茨很快识破了这个游戏的秘密。

巴菲特曾经用一套四个不寻常的骰子，它们的面上有从0到12的不同数字组合，向盖茨发起了一场赌博游戏。

巴菲特建议他们每人选择一个骰子，然后丢弃另外两个。他们打赌谁能投出最高的数字最多次。

巴菲特主动让盖茨先选骰子。

这个建议立刻引起了盖茨的好奇心。他要求检查一下骰子，然后要求巴菲特先选。

“一眼看上去并不容易发现，由于骰子上数字的巧妙选择，它们是不可传递的。”盖茨说。

“传递性这个数学原理，在这里不适用。也就是说，如果A打败B，B打败C，那么A并不一定打败C。”

比尔·盖茨点出了骰子的关键。这四个骰子是类似石头剪刀布的关系，每一个骰子既能赢一个，也会被另一个所克制，所以——后选的一方必胜。

此外，《Fortune's Formula：The Untold Story of the Scientific Betti》一书写到，在赌场大杀四方的数学天才爱德华·索普，曾跟巴菲特一起打桥牌，他们两人都对这种怪异骰子非常感兴趣：

“当巴菲特提到非递移性骰子（non-transitive dice）这个索普同样深感兴趣的游戏时，两人一拍即合。那是一种数学上的奇特现象，这种骰子‘把戏’能混淆大多数人对于机率的看法。”

书上没有展开讨论，但有些网络资料把这个故事写得很生动：

巴菲特曾和爱德华·索普打桥牌，玩得一时兴起，巴菲特问了索普一个问题：你有没有玩过三个骰子的游戏？

假设三个骰子，A是（3，3，3，3，3，3）；B是（6，5，2，2，2，2）；C是（4，4，4，4，1，1）。你选一个觉得最好的骰子，然后我选，我们一起玩，看看谁会赢。

爱德华索普毕竟是战胜过赌场的人，很快发现巴菲特在给他“下套”。

他告诉巴菲特：A对于B有三分之二的胜率，B对C有五分之九的胜率，C对A有三分之二的胜率。这是一个剪刀石头布的游戏，无论我选哪个，你都能战胜我。

巴菲特听完后，哈哈大笑，说你是唯一识破这个游戏奥秘的人。

CxEric注：我没有找到这个故事的出处，无法确认其真实性；另，里面写的概率显然有错，B对C的概率似是九分之五。但不管如何，这是个有趣的故事。  

所以这组骰子长什么样呢？

除了网络流传的：A（3，3，3，3，3，3）；B（6，5，2，2，2，2）；C（4，4，4，4，1，1），它还可能长这样：

另外，Nick Sleep在2006年合伙人信中也提到了这种骰子，他给的图是这样的：

这四个骰子的特别之处在于，左边第一个能赢第二个，第二个能赢第三个，第三个能赢第四个，接着——第四个能赢第一个。

它打破了数学中常见的“传递性”——即如果A>B，B>C，那么A必定>C。在这个案例里，A>B，B>C，却出现C>A。

这能说明什么道理么？能。

Nick Sleep说，玩这个游戏，“诀窍是让你的对手无意中透露一些更多的信息，并让他先选一个骰子！”

因而，非传递骰子提供了两个便利的投资模型：

“首先，就像任何骰子都可能在一段时间内获胜一样，任何投资过程的优势只有随着时间的推移才能显现，所以耐心很重要。

其次，股票市场每天公布价格，这相当于让对手先选择骰子。市场所设定的价格揭示了关于一家公司前景的信息，这可能提供了机会，也可能不提供机会。

投资者可以选择接受市场的报价，或者等待另一个价格、另一天。”

三、芒格的谜语

美国有一项运动，这项运动是一对一的，会举办全国冠军比赛。有一个人获得两次冠军，但中间间隔了65年。

现在，说出这项运动的名字。

这个题目出自芒格的一场演讲。他曾用这个题目来考家人，而在演讲中提出这个题目，是为了举例说明：

“我建议你们在解决问题时，使用一些快刀斩乱麻的运算法则，而且你们必须学会正向和反向地使用它们。”

芒格有个儿子是物理学家，他成功地给出了正确答案。

他是这么推理的：

1. 这不可能是一项需要很多手眼协调的运动。没有八十五岁的老人家能够赢得全国台球巡回赛冠军，更别提全国网球冠军了。总之不可能。

2. 然后呢，他认为不可能是国际象棋——这个物理学家下得很好——因为它太难了。国际象棋的系统复杂性和所需的耐力太大了。但这引出了西洋跳棋。

他想，“啊哈！在这个游戏里，只要经验足够丰富，哪怕你已经85岁，也能成为这项运动最好的玩家。”

芒格说，“当然，这就是正确的答案。”“我推荐你们使用这种解决问题的方法，遇到问题要进行正向思考和逆向思考。”

在这场演讲中，芒格还出了另一个题目，有着类似的解题思路。

题目大意是：

伯克希尔·哈撒韦在一个陌生城市开了一家家具和电器商店，迅速刷新了这一行的年销售记录（打破了伯克希尔自己的记录），每年销售金额高达5亿美元。

从它营业的那天起，3200个停车位总是满的。

芒格问：“请告诉我这家新商店迅速获得成功，销售额比全世界其他家具和电器商店都要高的原因？”

他接着自问自答，“让我来替你们解答吧。”

“这是一家廉价商店还是一家高价商店？在陌生城市开设一家高价商店不会马上获得成功。那需要时间。”

“第二，如果它每年流转的家具高达5亿美元，那么它肯定是一家硕大无朋的商店，因为家具的体积都很庞大。大型商店的特点是什么呢？它提供大量的选择。”

“所以，除了是一家提供大量选择的低价商店，还能是什么呢？”

接着第二个问题来了。

“为什么以前没人开这样的商店，轮到它来当第一家呢？”

“答案同样很明显：开这么大的商店需要一大笔钱。所以呢，以前没人开过。”

芒格总结，“只要懂得一些基本的道理，这些看起来很难的微观经济学问题就能够迎刃而解。我喜欢这么轻松而又能带来回报的思考方式。我建议你们大家也应该更好地掌握微观经济学。”

四、格雷厄姆的陷阱

1968年，美股正处于一股巨大的投机浪潮中，价值投资似乎再一次“失宠”。

在这样的背景下，巴菲特以格雷厄姆的名义，发起了第一次格雷厄姆俱乐部的聚会，邀请了多位同门师兄弟，以及他的一些好友——比如，查理·芒格。

这次聚会在价值投资史上意义非凡，也常被视为巴菲特投资风格转变的契机。但这些都先按下不表，本文要讨论的是，格雷厄姆在这次聚会中出了一套非常有趣的考题。

可惜的是，这次聚会没有任何会议记录，因此没有人知道格雷厄姆问了什么问题，而且这个故事有好几个版本——每个人在讲述时，都侧重了不同方面。

第一个版本出自巴菲特的传记《Buffett：The Making of an American Capitalist》一书。

格雷厄姆以苏格拉底的心境抵达，“你们是一群聪明的家伙。”

他开始说：“我要对你们做个测试，这里有10个问题，都是是非题，我警告你们，这些问题都非常难。”

结果，没有人答对一半以上的题目，除了芒格的律师事务所合伙人罗伊·托利斯（Roy Tolles），他怀疑这里头有诡计，所以全都回答“是”。

格雷厄姆的重点是，一个看起来很简单的游戏也很容易作弊，这可说是在投机风潮时代里一个敏锐的警告。

第二个版本，出自一本年代久远的格雷厄姆传记《Value Investment：Lessons from the Dean of Wall Street》，这个故事更加精彩。

在这个版本里，格雷厄姆提前告诉大家：有一半的答案是对，一半的答案是错——这意味着，如果有人愿意无脑全选“对”，或者全部选“错”，他就能拿到一半的分数。

但结果，这一群超级聪明的人几乎全军覆没，只有一个人得到了超过一半的分数。

原文记载如下：

“他给我们出了一道测验，”巴菲特说，“一套判断题。有很多聪明的家伙在场。他事先告诉我们一半是对的，一半是错的。一共有20个问题。”

“我们大多数人答对不到10个。如果我们全部选对或者全部选错，我们也能答对10个。”

巴菲特解释说，格雷厄姆自己编了这个看似简单却很难捉摸的历史谜题。

“这是为了说明一个观点，那就是聪明的家伙会操纵游戏规则。那时是1968年，各种虚假的会计手法层出不穷。

你可能会认为你可以通过跟在他们的后面赚钱，但（这个测验）是为了说明如果你试图玩别人的游戏，那并不容易。”（If you tried to play the other guy’s game，it was not easy to do.）

第三个版本是在中文网络上找到的，据说是芒格在Wesco的1990年股东会上亲述，我暂时没有找到其出处：

“格雷厄姆晚年召集门下弟子举行会议，他们平均智商超过150。

会议现场格雷厄姆让他们做一个对错测试，结果只有一个人（不是巴菲特和芒格）做对超过一半，并且这个人其实只会3题，其他都是蒙的。

芒格认为，这是格雷厄姆试图告诉他们，当有些非常聪明的人努力误导你的时候，你很难表现出良好的判断力并得出正确结论。”

这三个版本，如果允许我总结的话：

一是说明，简单的游戏也可能存在作弊，不要高估了自己“与狼共舞”的能力；

二是侧重，我们需要分清楚，是在玩自己的游戏，还是“别人的游戏”——后者的难度是很高的；

三是强调，别忘了，如果一个聪明人铁了心要骗你，你是很难不被骗的。

第四个版本出自《穷查理宝典》，它则直接讨论了“信任”。

芒格说，他许多年前曾在圣地亚哥参加过“本杰明·格雷厄姆小组”的会议。格雷厄姆为他那些聪明的追随者进行了一次认知评估测验，其中安插一些陷阱题。

不出格雷厄姆所料，受试者纷纷中招，他藉此发表了一次谈话，点出信任的重要性：

“无论你们多么聪明，总有一些更聪明的人，如果他们真的想骗你们，你们就会上当。所以，要确定与你们同事的聪明人值得你们信赖。”

哇，我喜欢最后这个版本。

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