一个数学突破，进入了物理学领域

本文来自微信公众号：原理 （ID：principia1687），作者：佐佑，题图来自：CNRS

一顶神奇的“帽子” 

2023年3月末，一顶神奇的“帽子”，让众多数学家惊叹不已。现在，这顶“帽子”，已经进入了物理学领域。

“帽子”实际上是一种由多个风筝形状组成的十三边形，它是数学家在寻找已久之后发现的首个“爱因斯坦”。

“帽子”是首个被发现的单铺砌块。（图/D. SMITH ET AL/ARXIV.ORG 2023）

“爱因斯坦”源自于德语中的ein Stein，即“一块石头”的意思，指的是单铺砌块（monotile）。单铺砌块指的是一个可以填满无限平面，且不会自我重复的非周期性铺砌块。非周期性意味着，由这种形状构成的整体图案，不能通过平移或旋转来恢复相同的图案。

在数学的铺砌领域，寻找“爱因斯坦”是许多数学家追求了半个多世纪的一座“圣杯”。在“帽子”出现之前，数学家需要多种形状来组成非周期铺砌块。比如数学家发现的首个可以覆盖无限平面的非周期铺砌是由2万多种形状组成的。在后续的研究中，数学家们在逐渐地缩小这一数字。

直到上世纪70年代，著名数学家和物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）仅使用两种不同的菱形，完成了非周期性铺砌。

由两种菱形组成的彭罗斯铺砌。（图/scipython）

彭罗斯铺砌块与自然世界有着深厚的联系。1982年，材料科学家丹·谢赫特曼（Dan Shechtman）发现，准晶体（一种有序但非周期性的晶体）的分子结构中，也存在与彭罗斯铺砌块相似的对称性。他也因这一发现而获得了2011年的诺贝尔化学奖。

单铺砌块与准晶体  

“帽子”的发现揭示了一些与非周期铺砌块砖有关的新颖数学。然而，对于粒子在这种结构中传播的物理学，仍然是没有被探索的领域。

在一项新发表于《物理评论快报》杂志的研究中，一个研究团队就计算了一种二维材料中的电子的性质，这种材料是一种基于“帽子”形状的准晶体，其中的原子位于“帽子”的顶点。

通常，科学家在研究一种材料时，会观测其电子能量与其波长之间的关系。根据量子物理学，电子以波的形式在物质中传播，而波长可以表示这些波的大小。在这种能量-波长关系中，研究人员发现，“帽子”准晶体与石墨烯（一种碳二维晶体）具有惊人的相似之处。这种相似性可能是因为，“帽子”的许多顶点，都是沿着像石墨烯一样的六边形网格排列的。

“帽子”铺砌块是由单一的铺砌块形状、而非多个形状组成的这一事实，实际上有助于解释它是如何跨越晶体和准晶体的界限的。单铺砌块意味着它比其他非周期性铺砌块更接近周期性，但却不会出现重复。

“帽子”与石墨烯的不同  

不过，“帽子”准晶体也与石墨烯有不同之处，比如“帽子”铺砌块是手性的，这意味着如果对这种材料进行镜面反射，那么它的电子就会有不同的行为。在真实的材料中，这种手性可能会影响光与物质的相互作用。

在这个动画中，一个基于“帽子”铺砌块的模拟材料显示，随着磁场的增加，电子开始被捕获。更亮的颜色表示找到零能电子的概率更高。（图/A. GRUSHIN/INSTITUT NÉEL/CNRS）

当研究人员将这种材料置于磁场中时，更多有趣的特征出现了。在“帽子”铺砌块中，一小部分形状是其他部分的镜像。电子，特别是那些零能电子，会在特定的磁场值下被捕获在翻转的“帽子”周围。

研究人员认为，这些发现非常有趣。虽然这种材料目前完全是理论上的，但研究人员提出了一些将这种材料变为现实的方法。例如，可以通过在一个平面上将分子按照“帽子”的形状放置。

参考来源：

https://www.sciencenews.org/article/quasicrystal-einstein-tile-hat-shape

https://arxiv.org/pdf/2307.11054.pdf

本文来自微信公众号：原理 （ID：principia1687），作者：佐佑