上一篇《表征火箭发动机性能用比冲还是密度比冲好？》为发动机性能四连载之二，即推力、比冲、混合比、流量，本篇为四连载之三——混合比。与希望比冲越大越好不同，混合比更多时候是基于火箭总体考虑。因为它影响火箭贮箱相对大小，火箭质心的位置，推进剂的加注方法，火箭的运载能力等等，甚至火箭还专门设立一个分系统用以处理混合比问题。

发动机最佳混合比

发动机工作混合比是指发动机消耗的氧化剂与燃烧剂的质量比。对于每种推进剂，在特定条件下都有一个最佳混合比，在这个混合比下能达到最大的比冲。但最佳混合比并非化学上恰好完全反应。

氢氧推进剂理论燃烧数据

以上图氢氧燃烧为例，O₂和H₂在混合比为8时，氧化剂和燃料能完全反应生成H₂O。此时燃烧室温度最高，但特征速度反而较小。特征速度最大时对应混合比在4左右。

为解释此现象，可以做一个极端的假设，假设两种气体推进剂燃烧生成物为固体，当两者完全反应时，全部生成固体，但固体在喷管内无法像气体那样膨胀加速，因此此时发动机的推力和比冲很低。但如果改变混合比，此时除生成固体外，生成的热量还能将多出的气体推进剂加热，尽管燃烧不完全了，温度也降低了。但被加热的气体膨胀并以极高速排出，比冲反而提高了。

分析公式表明，推进剂燃烧后发动机比冲与生成气体的摩尔质量、比热比等均有关，摩尔质量越小，发动机比冲越高。分析和试验研究可确定能量释放和燃气成分之间的最佳平衡点，此时燃气中的一部分是已经汽化或分解但未烧尽的推进剂。

理论计算表明，在某给定室压和出口条件下，N₂O₄/UDMH最佳混合比约为2.736，LO₂/RP-1最佳混合比约为2.673，LO₂/LH₂最佳混合比约为4.408。

富氧燃烧与富燃燃烧

但我们考察典型发动机，其混合比大多不是上述最佳混合比。

常规推进剂、液氧煤油发动机使用混合比一般比最佳混合比小，可使燃气温度更低，有利于缓解严酷的涡轮、推力室室壁等冷却要求。另外，推力室在富燃的环境中工作，可保证金属材料不被氧化。此种偏离在燃气发生器中更为明显，以F-1为例，其燃气发生器内混合比为0.416，燃气温度为1061K，远小于推力室中的约3500K，大大降低了涡轮的设计难度。

前苏联、美国在二十世纪60年代均已有液氧煤油发动机，但只有前苏联执着地研制了液氧煤油补燃发动机。大家都说高压下煤油会结焦，无法稳定地进行再次利用。苏联将液氧煤油补燃发动机燃气发生器（在补燃循环中一般称为预燃室）设计为富氧燃烧。RD-120预燃室的混合比达到了53.84，生成的气体中90%为735K高温的O₂。金属材料在强氧化环境下甚至可以燃烧，发动机工作环境十分恶劣，突破富氧预燃室、富氧涡轮技术，足以证明俄罗斯在材料工艺上水平可以傲视全球。

氢氧发动机使用混合比一般高于最佳值，这是由于，O₂密度是H₂的16倍，如果混合比为4，则推进剂综合密度为289kg/m³，理论比冲4112m/s；混合比6对应综合密度373kg/m³，理论比冲4068m/s。使用之前推导的密度比冲组合公式v=gIsp·ρ^0.13。

就火箭总体而言，混合比从4变为6，虽然偏离了最佳性能点，却能将火箭末速度从8.6km/s增至8.8km/s，达到全局优化。值得一提的是，尽管此时发动机混合比高于最佳混合比，但由于其组分全部反应时的混合比为8，所以，此时发动机仍然是富燃的。

推进剂利用系统1（加注量控制）

推进剂利用系统

真实世界均存在偏差，工程的本质是对付偏差。以混合比为例，在加注时不可能做到完全无偏差的加注，发动机工作时混合比也不能做到完成符合理论值。当真实加注混合比相对于飞行消耗高了，飞行后会剩余无法使用的燃烧剂，混合比低了，会剩余无法使用的氧化剂。都将造成某一种组元过早消耗，另一种组元大量剩余成为死重而无法使用，导致运载能力减小。

由于火箭中推进剂加注量巨大，混合比的小量偏差就导致大量推进剂的剩余。如混合比为2.12±0.06，氧化剂加注量为100吨，则标准情况下加注燃料47.2吨。则如果真实飞行混合比为2.06，燃烧剂烧完后，氧化剂还剩下2.77吨无法使用，这是巨大的浪费。

现有的很多运载火箭采用传感器判断液位，在小工况范围内调节发动机消耗混合比的方法，来控制最终的推进剂剩余量，并称此系统为推进剂利用系统。

以上定义仅为一种在线闭环控制工程，广义的推进剂利用系统涉及方面更多，它包括推进剂加注量主动精确控制，发动机工作混合比偏差被动控制、发动机工作混合比偏差主动控制等各个方面。

加注量精确控制

首先是加注量精确控制，如何保证加注进推进剂贮箱内的推进剂与设计值偏差更小。如采用地面流量计计量，假设精度为±0.5%。如加注100吨15℃的N2O4，则需加68587L，累积误差可达±342.9L，相当于500kg推进剂，这个误差非常大。

因此针对可贮存推进剂，一般采用箭地联合定量加注法，即加注由箭上液位计定量+地面定量装置控制补加量获得要求的加注总量。箭上液位计在出厂前标定，精度可以达到很高（如0.3‰），一般标定几个液位点。采用联合定量，假设一个液位标定在65000L左右，再考虑补加时流量计误差，总误差37L，相当于55kg推进剂，比单纯采用地面流量计降低了一个数量级。

当然，无论是采用箭地联合定量，还是采用地面流量计，都存在将体积转换为质量的问题，换算需要推进剂密度，它与温度成正比，问题是由于泵温升、环境影响等，加注前后推进剂温度不一致。

目前采用温度预测方法，通过天气预报预测加注时温度，结合库房推进剂温度值，预测进入贮箱的推进剂温度。一般温度预测的精度可以达到±0.5℃，考虑氧化剂温度膨胀系数，则由于密度变化造成的加注量偏差可达±1‰，加注100吨推进剂偏差可达±100kg。由此可见，提高温度预测模型精确度对于提高加注定量实际精度十分重要。

推进剂偏加方法

考虑发动机工作时的混合比偏差，还有一种特殊的方法可以降低最终剩余的推进剂。

考虑一个如下的数学模型：推进剂加注总量不变，已知混合比及其偏差，如何做到剩余推进剂最少。

这里区分两个词：加注混合比和发动机工作混合比。前者指加注到贮箱的两种推进剂量比例，后者指发动机工作时消耗量的比例，只有两种推进剂正好同时消耗完，两者数值才达到相同。

设火箭的加注混合比为K₁，则推进剂总加注量G和两组元加注量G_y、G_r满足G=G_y+G_r，K₁=G_y/G_r，则：

如果发动机工作混合比K₂<K₁，则氧化剂剩余，燃烧剂耗尽，此时总推进剂剩余量比例为：

如果实际工作混合比K₂>K₁，则燃烧剂剩余，氧化剂耗尽，此时总推进剂剩余量比例为：

因此，在给定的加注混合比K₁下，以发动机工作混合比为K₂横坐标，推进剂剩余量Z为纵坐标，可以画出一条曲线，曲线分为两段，当K₂<K₁时，为一条单调下降的直线，在曲线的右端，为一条单调上升的双曲线（在混合比小偏差下近似为直线，此处省略证明）。在推进剂混合比偏差的范围内，最大推进剂剩余量总是出现在曲线的两个端点之一，哪个大，哪个就是设计工况。

考虑不同的给定混合比K₁，则可以形成一簇曲线。K₁偏差范围较小时，可证明（此处省略）左侧直线斜率偏差不超过2%，右侧近似直线偏差不超过5%。可近似认为曲线簇为平移构成。显然使推进剂剩余量最小的一根曲线是两个端点一样高的曲线则由：

便可以得到推进剂剩余量最小的一组加注混合比。

这种在加注时有意识地多加注某一种推进剂的方法，称为推进剂偏加方法。可以直观理解一下，若混合比为10000:1，如果燃烧剂耗量大了，结果燃烧剂耗尽时，氧化剂还有极大剩余量，还不如不按理论混合比，而是多加一些燃烧剂，确保氧化剂耗尽。因此，通过推进剂偏加，可以非常有效地提高运载能力。通常推进剂工作混合比K>1，采用偏加方法，就要多加注燃料而少加注氧化剂。

不同加注混合比下最大剩余推进剂量图（横轴交点为给定加注混合比，左侧端点为发动机工作混合比取下偏差时推进剂剩余量，右侧端点为发动机工作混合比取上偏差时推进剂剩余量。使发动机工作混合比偏差涵盖范围下，推进剂总剩余量最小的加注混合比，即为最佳加注混合比）

若发动机工作混合比范围为2.12±0.06，则：

由此可求得偏加后最佳加注混合比为2.098，而不是中间值2.12。以总加注量100吨为例，此时最大剩余推进剂量为1.22吨。而如果采用中间值2.12加注，则最大剩余推进剂量为1.92吨，多损失了700kg的运载能力。

概率设计方法

上述结果还不能令人完全满意，这是因为，实际上混合比偏差不是平均分布，而是正态分布（混合比偏差由各种干扰引起，随机干扰叠加后分布为正态分布，这就是大数定理），混合比达到极限偏差的情况几乎不存在，提高运载能力，要采用概率的方法。

以前在学校时，有次一班同学约着出去玩，大家都踊跃报名，但对去哪儿达不成共识。我们决定采用“科学”的方法：将所有要去的地方编号1～10抽签。本来出个人抽签就行了，但为了体现所有人的参与感，编了个程序，让每个人都抽一个，最后将所有抽签结果平均。说干就干，编好程序一运行，大家在键盘上一阵噼里啪啦回车，结果出来了，是6。安静了一会儿，有人对6对应的地点不满意了，说不算，重抽一次；于是重抽了一次，还是6。非常古怪，再抽，结果不外乎5、6、7。这就是我们在纯真的大学时代干的事情，从中我们也体会到了联合概率密度分布，以及大数定理。

大数定理无处不在，以一台发动机为例，如混合比偏差2.12±0.06，出现2.06或2.18的机会本就非常少了。如果再考虑几台发动机并联，则并联后，理论上，混合比偏差仍为0.06，但实际上出现2.06或2.18的机会就更少了。这种基于偏差设计的方法（非常重要的一个词，后续也许会写篇文章单独阐述），是非常保守的，并不能挖掘系统的最大潜能。

因为系统的最大潜能是：在一定的概率下（如3σ，即99.73%）的最大推进剂剩余量。这个可开展分析，当然，用仿真更为简单，而且适用于更复杂的情况。

当一发火箭飞行过多次，状态已基本成熟，一个比较重要的工作就是进行多发飞行数据分析，分析出参数的概率区间，从此角度进行系统的挖潜。

再说说那次我们去哪儿玩了：不是不管抽到数字几都有人不满意吗？一位同学说，我一定要去卢沟桥，你们不去我就一个人去。于是最后大家都跟着一起去了卢沟桥。此事告诉我们，扯皮没前途，埋头苦干才是最重要的。在埋头苦干中发现问题，解决问题。

推进剂利用系统2（被动控制）

为减少推进剂剩余量，减少发动机工作混合比偏差范围是根本。如果偏差为0，则直接加注至需要混合比，不会有推进剂剩余的死重。

稳定发动机工作混合比就是稳定发动机流量，在相同的上游压力下，考虑一个中间装置，流量可由装置自身，下游压力决定，如果中间装置可以稳定下游压力，或者流量与下游压力无关，或者流量受下游压力影响更小，就可以提高流量的精度。这对应了三种中间装置，即自动器（压力调节器），气蚀管以及节流圈。

压调器，是一种可自动调节开度，来稳定下游压力的阀门。可根据压调器出口压力的变化调整燃料流量（调整副系统更为容易），以保持混合比恒定。这种高精度的方案也意味着高复杂性，因为阀门内的零件很多。

气蚀管内压力分布

气蚀管（又称文氏管或文丘里管）是一种先收缩后扩张的管路（类似推力室后的拉尔伐喷管，不同的是拉尔伐喷管喉部流速达到声速，喷管扩张段为超声速流动，此时喷管扩张后，气体速度反而增大）。考虑理想不可压缩流，对于气蚀管内流动存在伯努利方程，即入口i，喉部t，和出口e之间存在：

在喉部，流体的流速最高，静压最低，随着压差p_i-p_e的增大，流量不断增加，喉部静压不断降低。当p_t低于液体的饱和蒸汽压p_sat时，流体急剧汽化，在喉部出现气蚀现象。这时，如保持pi不变，即使继续降低p_e，p_t仍保持不变，v_t也保持不变，所以流量不再增加。即在气蚀管产生气蚀现象的前提下，只要入口压力不变，出口压力在一定范围内变化对流量不会有影响。

考虑气蚀管流量q=C_dA_t√p(p_i-p_sat)，其中C_d是考虑入口损失及液流在喉部收缩时的流量系数。则可将入口压力写成流量的函数p₁=Kq²+p_sat，其中K=1/C_d²A_t²p，对流量进行微分及其变换，可转化为：

考虑数值量级，可粗略取估计值C_d～10⁰，D～10^-3，ρ～10³，P_sat～10⁵，q～10⁰，可求出C_d²A_t²pP_sat/q²~10^-4<<1。即压力波动1%，流量波动0.5%。

再考虑节流圈，节流圈也是一种收缩、扩张装置，不同的是，在节流圈喉部不存在气蚀现象，其流量方程为q=C_dA_t√p(p_i-p_e)，只是将饱和蒸汽压换成了出口压力（所以对应喉部口径也较大），流量系数Cd也相应变化，但仍在0～1之间，仍进行数量级分析，可取估计值C_d～10⁰，D～5×10^-3，ρ～10³，Pe～10⁶，q～10⁰，则C_d²A_t²pP_sat/q²~1。即压力波动1%，流量波动也达到1%。

从分析可以看出，气蚀管依赖喉部气蚀，将压力固定为饱和蒸汽压，扼守住了下游对上游的影响；节流圈喉部不产生气蚀，下游压力变化给流量变化带来了一定影响。因而气蚀管对流量调节精度要比节流圈高。

大家都知道，涡轮泵最怕气蚀，那为什么气蚀管可以作为一个稳定调节元件使用呢？笔者猜想原因可能是：

1）从下述试验图片看来，大部分气蚀发生在管路中间，空泡的破裂不直接作用在气蚀管壁上； 

2）气蚀管内是一种较为稳定的规模较大的气蚀，因而对壁面撞击次数较少，所以气蚀破坏并不剧烈。当然，笔者未真正搞过发动机，仅为猜想。

试验中观察到的气蚀图

由于气蚀管内存在空泡的聚合、破裂，所以气蚀管的缺点也是显然的，其出口存在振动。发动机设计时，需要采取一定措施来抑制系统振荡。这些措施可能比较依赖试验。

什么叫气蚀？为什么产生气蚀？

1894年，英国制造的240吨的小型驱逐舰“勇敢号”初试航时，螺旋桨转速只能达到384转，比额定设计转速低1.54%。几经调试，直到1897年，总工程师Barnaby才在造船工程师会上发表论文说明是由于螺旋桨发生了气蚀现象。

过了20年，1915年，英制的新鱼雷艇“德林号”驶入大西洋试验。它的设计速度比前一型号大一倍。但是当舰艇机器以最大转速工作时，艇尾抖动，尾部海水泡沫翻腾，犹如倒啤酒时一样，艇的速度也没有超过前一型号。当鱼雷艇回到基地时，螺旋桨已经破烂不堪了。这又是气蚀在捣乱。直到1971年，有人对上千艘船做了调查发现，其中有30％的螺旋桨在使用一年后，都由于气蚀而造成不同程度的损伤。

以水为例，在标准大气压下，温度达到100℃，水就会沸腾。“沸腾”就是水内部能冒气泡的现象。不同温度下，水沸腾对应的压强是不同的，这个压强称为饱和蒸汽压，也称蒸汽压。反之，在不同外界压强下，水沸腾的温度也是不同的。如在海拔4km的高原地区，沸点只有86℃，在压强到达2338Pa时，水的沸点仅有20℃。推进剂亦然，当压力低于推进剂饱和蒸汽压时，推进剂便在此处开始汽化产生气泡。

不是所有产生气泡的现象都是气蚀。产生气泡的原因可以包括：温度变化引起的沸腾；压力变化引起的蒸发，即空化；当液体中含有的过饱和气体在压强降低时释放，如打开饮料时CO2气体的溢出；或者通过物理或化学反应产生气体的现象，如将活性金属投入盐酸中产生气泡，瓶子在水池里灌水产生气泡等。

产生气泡现象中，惟有空化才可能产生气蚀，这是由于气蚀的危害主要来自于气体破裂。由于局部低压而产生空化后，当外部压强升高时，空化生存的条件消失，于是空泡破裂，溃灭。空泡溃灭的时间极短（约10-3s），其空间被周围水体迅猛充填，形成极大的冲击压强（约104～106大气压），大大超过一般材料强度，当气泡在固体边界溃灭时，高压冲击不断地传到固体边界面上，足以造成材料的损坏剥蚀。这种现象称为气蚀。

那么怎么会产生局部低压呢，有三种可能性：

流道收缩压力降低

根据伯努利方程，当流道收缩时，流道中流速大大增加，导致其压力变低。上述的气蚀管就是典型的流道收缩产生空化的设备。

漩涡流压力降低

设在压强P，流速U的流场中存在一圆形孤立漩涡，若不计粘性，涡心压强p_ε=P-pΓ²/8π²r²，其中p_c为涡心压强，P为流场中不扰动压强，ρ为液体密度，Γ为涡旋环量，R为涡旋半径，r为以涡心为原点的极坐标。理论上涡心处，r=0，p_c=-∞。在实际流体中存在粘性，但pc为有限值。如龙卷风中心就是一个低压区。

固液高速相对运动产生低压区

固液高速相对运动可在水中产生低压区而引起空化。超声波加湿器也是一个这样的例子，加湿器中的压电陶瓷产生高频振动，加速器振动推开流体再回来时，就形成了局部的低压区形成空化。揭开加湿器顶盖，就会发现加湿器底部冒出大量气泡，好似沸腾了一般。

发动机叶轮附近流体流动也是这种情况，在涡轮泵中，当气泡流向叶轮间的高压区时，气泡会急剧收缩以至破裂。破裂同时，周围推进剂以很高速度填充空穴，在瞬间产生强烈水击作用，并以很高的冲击频率打击金属表面，冲击应力可达几百至几千个大气压，冲击频率可高达每秒几万次。这种在泵中产生气泡和气泡破裂时涡轮泵破坏的过程就是气蚀。泵气蚀会导致泵性能下降，会产生振动，还可能造成结构破坏。

推进剂利用系统3（主动闭环控制）

主动的推进剂利用系统，是一个带反馈的系统，它由安装在贮箱内的传感器敏感到箱内液位变化，从而换算箱内剩余推进剂量（可装订到软件），之后控制发动机调节阀，在小的混合比偏差范围内调节发动机流量，最终使剩余的推进剂尽量少。与之前的被动式方法调节下游压力相比，主动的推进剂利用系统可以调节系统上游压力。

敏感装置多种多样，常见的有干簧浮子式和分节电容式。干簧浮子式液位传感器内部有固定的干簧管。其外浮子随液位向下滑动，当达到干簧管位置时，浮子上磁铁吸引搭接板使之闭合，就可发生通断信号指征液位。

干簧式液柱传感器

电容式液位传感器则是一种连续的液位指示方法，在推进剂内插入电极，电极的浸没深度随被测液位的高度而变化，从而改变电极间的介电常数，引起电容变化。如下图，介质的电容为C=2πεx/In R/r，其中ε为推进剂的介电常数，所以电容值（可转化为电压信号）与液位高度呈线性变化。由于线性特性，液位高度变化越大时，电容的累积误差越大。

因此，使用时将传感器分段，每段同样长度，将所有奇数段和偶数段电容分别并联，则两路电容值的差值是随着液位高度变化呈现三角波变化，此时误差就不再累积。

原理简单但实现并不简单。因为工程科学是一门关于精度的科学，电容式液位传感器设计时就需要考虑机械加工误差（要求每一段单元的非线性≤0.4%），每段单元电容量不一致引起的误差（<0.3%），液体毛细现象引起的误差，传感器在低温推进剂中收缩引起的误差（液氢介质中轴向收缩率0.4%）。

电容式液柱传感器

多节电容式液位传感器输出电压曲线

采用利用系统，可以大幅减少推进剂剩余量，但涉及环节多，分工、接口复杂（涉及贮箱容积、液位传感器、仪器电缆、阀门控制信号、发动机调节阀门等大量环节），协调或使用不当容易出现问题或故障。这正是开、闭环两套系统的区别：开环系统简单、链条少，但精度低，而闭环系统正好相反。开闭环系统是一个很大的话题，后续专门开个帖子讨论。

本文来自微信公众号：理念世界的影子（ID：spaceodyssey1968），作者：洞穴之外