火箭是怎么飞到目的地的：物理描述

在火箭中一种是长周期的控制，称为制导，一种是短周期的控制，称为姿控。说起来还是隐晦，这两个到底是什么东西呢？有什么区别？

首先，它们两个都闭环控制。

什么是闭环控制？

参考《动态系统的反馈控制》，个人认为比Katsuhiko Ogata的《现代控制工程》好。

按这本书第一章，以自动调温器控制壁炉为例。在系统工作过程中，若房间温度低于要求温度时，自动调温器点燃壁炉，房屋吸热量大于散热量，温度上升，直至达到设定值，关闭壁炉，房间朝外界散热温度下降，当下降到低于要求温度时，再重复此过程。

注意图中下侧的那条回路，因为回路的引入，可对系统的输出进行测量并反馈回来加以利用，构成了闭环控制，或反馈控制。反馈控制的基本组成如下图所示。

在上图中，过程就是房屋，它的输出是房屋温度，对这个过程的干扰是外界的换热。过程的设计对控制效果有很大影响，如关上窗户就比开着容易稳定温度。壁炉是执行机构，执行机构应能以满足要求的速度和范围快速改变过程输出。如果壁炉功率较小，如安徒生童话中小女孩的火柴，就无法达到需要的温度。

一般地，过程和执行机构紧密连接，控制设计主要是寻找一个合适输入给执行机构，过程和执行机构合在一起称为受控对象，用来准备求解要求的控制信号的装置称为控制器，本例中为温度控制器，它在温度低于要求值时打开壁炉，低于特定值时关闭壁炉。本例中温度计对房间温度进行测量，是传感器。

火箭控制系统框图也别无二致，这里箭体是过程，伺服机构，配电器（控制关机）是执行机构，箭机是控制器，惯性器件是传感器。

制导和姿控有什么区别呢？

什么是制导？

各种偏差下，真实弹道都是标准弹道下的扰动，制导的目的是将火箭导向目标。向标准弹道靠近不一定好使，因为需要保证七个参数（t， x， y， z， vx， vy， vz）等于预定值，这很困难，而且如果发动机不调节推力，控制量是不够的，不可能保证。另外，导向目标也不是一定要导向标准弹道。如下图所示，在标准弹道附近存在一个弹道族，在这里的七个参数只要满足一定关系，就能导向正确目标。

问题是，飞行中，射程怎么测量？

没法测！这就是制导面临的问题：没法测量？传感器可以测出当前的加速度、速度、位置，但就是没有传感器可以测出射程。

既然没办法测量射程，那么可以算吗？能不能写出计算方程？仍然很难，但我们可以确定，射程是一个关于关机点时间、速度、位置的确定性函数，也即L=L（t， x， y， z， vx， vy， vz）。只是这个函数难以写出来。

怎么办呢？制导设计很多时候就是在处理测量问题。两种思路：

• 精读法。在标准弹道基础上，采用泰勒展开，对每一时间点上写出一个近似函数，对函数直接求解，对应摄动制导。

  
  

• 通读法。不管标准弹道，对所有时间点写一个统一的近似函数，这个函数可能开始不准，但会越来越准，对应迭代制导。

前者书上说是隐式制导，后者书上说是显式制导，笔者总是一头雾水。精读法、近似函数，算是笔者的形象理解吧，不一定对，欢迎讨论。

摄动制导

在标准弹道附近可对关机时刻的射程进行泰勒展开！（下式为大一多元微积分内容，回忆起来了吗？）

这里的偏导数是指关机时刻偏导数，ΔL是实际射程与理论射程之差，Δx是实际位置与标准弹道位置之差。

现在目标明确了，实际射程与理论射程相等，即ΔL=0是需要的控制目标，将上式右侧的Δ项展开成实际值和理论值的部分可得：

从公式里可以看到7个偏导数，它们都可以根据标准弹道提前算好，称为偏差系数。

方程右侧的值，即偏差系数与标准弹道中时间、速度、位置相乘再求和，可以提前算好，称为关机特征量。导弹中只需要装订这7个系数加1个关机特征量，然后时刻将传感器敏感到的时间、位置、速度进行计算，再与关机特征量比较，即可确定是否关机。显然，由于是泰勒展开，要求真实弹道离标准弹道不要太多，它的精度终有瓶颈，同时也无法适应发动机推力下降等故障模式。

还记得上一篇已经给出，对于射程10000km的导弹，在关机点大约有：

这几个就是上面的偏差系数。

（泰勒公式：关于泰勒公式，本公众号后续会专题介绍。很多人不喜欢数学，这里打个比方，我们都知道地球是圆的，中国和美国在球的两头。但有个人说，我现在踩的地面是平的，也是没错的。那这是为什么呢？其实这就是泰勒展开。）

迭代制导

如上图，火箭飞行中，后面推力朝什么方向，落点在哪儿，无法计算。但任何时刻只要关机（图中K点），都对应一个落点（图中T点）。那换个角度，为让导弹飞行到落点，先不考虑后续发动机怎么推，假设只需在当前时刻推一下，后面不推了，可以计算一个速度增量和推的方向，那发动机就照这个方向推吧，只要不犯方向性错误总能达到目的地。

于是，复杂的导弹运动近似成了一个简单的二体问题（这里没说落地时大气阻力，真实应用时需要修正一下）。当然，只要发动机还在工作，这个近似就不准。但随着离落点越来越近，剩余发动机工作时间越短，就越准。当发现不需要速度增量落点就重合时，就可以关机了，关机时刻的近似方程终于准确了。

这就是迭代制导，原方程写不出来，那就做个近似，这个近似开始不准，但会越来越准。

什么是姿控？

制导控制的是诸如射程、半长轴之类的量，这些量没法测、难以算。因此制导设计（非实现）主要集中在“箭机”这个部分，即计算射程的方法。

姿控则不同，它控制的是箭体姿态角等角度，这个角度在火箭上装上一个传感器很容易测量，但姿控的问题在于，就像开车，要保证不翻车，需要对开的方法，以及车的特性有比较好的理解，因此姿控设计（非实现）主要集中在“箭体”这个部分，即火箭在外力下的行为。

后记

如前所述，制导和姿控都是闭环控制，但两者侧重点不同：

• 制导控制长周期运动，特征量无法测量，但稳定性不是关键。因此制导系统的设计要点在处理特征量问题；

  
  

• 姿控控制短周期运动，特征量容易测量，稳定性特别关键。因此姿控系统的设计要点在处理稳定性问题。

制导特征量传感器测不出来，方程太复杂也无法写出来，有两种处理思路：

• 精读法。在标准弹道基础上，对每个时间点上写一个近似函数（使用泰勒展开）的摄动制导。由于是泰勒展开，要求真实弹道离标准弹道不要太多，它的精度终有瓶颈，同时也无法适应发动机推力下降等故障模式，一般认为是第一代制导算法；

  
  

• 通读法。不管标准弹道，对所有时间点写一个统一的近似函数，这个函数开始可能不太准，但会越来越准，这就是迭代制导。迭代制导紧盯一个目标，能在一定程度上适应发动机推力降低等故障模式，同时需要地面计算和装订值少，一般认为是第二代制导算法。

以上四句是教科书都没有的，笔者自学自悟，但愿不要走火入魔，也请高人批评指正。

说到姿控稳定性，最好来点数学，详见下篇《火箭是怎么飞到目的地的：数学描述》。

本文来自微信公众号：理念世界的影子（ID：spaceodyssey1968），作者：洞穴之外