警惕“平均数”的陷阱

最近读了本新书，叫做《Ergodicity: Definition， Examples， and Implications》，作者是Luca Dellanna^[1]，是个意大利裔的咨询顾问，其方法是应用工程学思维解决管理问题，而他对于遍历性（Ergodicity）问题的阐述，深入浅出，让我大为震撼，以前竟完全没想过。

一、何为遍历性Ergodicity

所谓的遍历性（Ergodicity），是个应用在统计学/物理/工程学的专业名词，看着挺复杂，实际却不难理解。在一个概率实验中，如果一千个人同时做实验一次所得到的结果，和一个人重复一千次实验所得到的结果是相同的，那么就可以说这个实验特征是具有遍历性的（ergodic），否则就是非遍历性的（non-ergodic），在统计学上，这是个集合平均（ensemble average）与时间平均（time average）是否相同的问题^[2]。

最典型的例子，就是俄罗斯手枪轮盘，试想一下：一把容纳六颗子弹的手枪，只安装一颗子弹，转动轮盘，然后冲着脑袋开一枪，如果没死就给你一个亿，死了就挂了。如果6000个人同时做这个实验，结果就是死了1000个，剩下5000人每人拿走一个亿，这个游戏的胜率是83%，预期收益就是8300万。但是，如果一个人重复进行这个实验，很明显是必死无疑的，因此集体重复一次，和个体重复多次，在结果上有很大不同，这就是非遍历性的。

实际上，由于有人类生命的不可逆和资源的有限这两个约束条件，发生在人类社会中的几乎所有事情，都是非遍历性的，这就使得我们在学校当中熟悉的算术平均数几乎失去了意义，不仅如此，还具有重大的误导性。    

二、The Peters Coin Toss

一个公平的硬币，出现正面反面概率都是50%，如果出现了正面就给你50%，即100块变成150块，如果出现了反面就扣减40%，即100块变成60块。这买卖怎么样呢？

根据中学的概率论知识，我们知道这个游戏的预期收益率是：50%*(1+50%)+50%*(1-40%)-1=5%，也就是具有正的5%的期望平均收益率，100块钱投进去，变成105块钱，很简单，概率站在我们这边。

然而，如果实际作为参与者，玩个几轮，你就发现自己归零了。很反常识、反直觉。

这就是 “The Peters Coin Toss”^[3]，游戏的设计者叫做Ole Peters，是个物理学家，也是伦敦数学实验中心（London Mathematical Laboratory）的遍历性经济学研究的领头人（Program Lead for Ergodicity Economics）。他设计了这个简单的扔硬币游戏，来说明遍历性的重要性以及对我们现实生活的影响。

实际上，期望的收益率5%并没有错，但是这个5%是基于集合平均的统计概念，即如果1000每人发10块钱一起扔硬币，一共投入1万块，一轮下来一万块预期就会变成10500元，然后下一轮再继续……由此进入了稳赚不赔的循环，初始的1万块就按照5%的收益率一轮一轮地滚动下去，概率发挥了作用。

然而，如果作为一个个体，你没有一千个分身，这种统计结论根本没有意义。一个个体的投资收益率反而是几何平均数，即(1+50%)*(1-40%)^(1/2)-1=-5.1%，也就是负的5%！100块投进去，第一轮赢了变成150，第二轮输了变成90……以此往复，虽然看上去胜率公平赔率占优的赌注上，却注定了归零的结局。非常反直觉。

作者还站在个人的角度，模拟了无数次个人投资的分布，结果如下：    

可以看到，随着轮次的增加，归零是必然结果。这就是非遍历性的游戏，投资如此，人生亦如此。我在惊奇之余，还拿Excel自己算了算，还真是这样，不禁感慨，可惜在中学课堂上，老师们都在教会我们研究算术平均数，但对于跟现实联系更紧密的几何平均数，却所言甚少。

我们经常说概率思维，其实比盲猜已经进步不少，但是面对这样一个看起来“胜率赔率”很划算的买卖，却出现了必然归零的结果，这就是出现了整体与个体的问题，这也就是遍历性所研究解决的问题。回到生活，其实一切有意义的活动都是基于个体，因而我们所面临的几乎所有决策、投资、生活、处境，都是非遍历性的问题，实在不可不反复理解。

三、对于投资的启示

同样地，在投资中思考胜率和赔率当然是不二之法，但除此之外，对于非遍历性的认识，可以帮助我们避免很多误区，比如上面扔硬币看上去很好的胜率赔率分布，实际上却注定了归零的结果。    

对于个体而言，我们都知道亏损50%需要翻倍才能回本，并且时光不能倒流，你只能基于上次的结果继续往前走，因此胜率重于赔率的选择似乎是明智之举，因此巴菲特才说投资的核心就是“不能亏钱”。

但是，这究竟是个投资风格的偏好，还是客观规律的必然呢？我现在认为是后者。

我们可以把整个投资组合当成一个整体，每年或者三年/五年当成一个阶段，你的整个投资周期就是由多个“阶段”组成，而“阶段”之间又是彼此衔接且不可逆的，因而可以看出，如果投资周期越长，其具有非遍历性的特征也就越大，如果只有一个阶段，即很短的时间周期，高风险高回报策略也无可厚非，很可能结果更好，极端情况就是俄罗斯轮盘。

由于我们的人生很长，理想情况下投资周期也很长，而根据复利原理，时间又是一个至关重要的因素，因此对于“投资复利”这项活动本身，寻求非遍历性的安全策略，也就是几乎无可争议的理性策略，因而“胜率”重于“赔率”，甚至都不是投资风格的偏好，而是站在长期中基于科学概率的结果。

但是，如果胜率重于赔率是个“客观规律”，怎么解释种子基金/风险投资的成功策略呢？毕竟一个项目投成了，几百倍回报就覆盖了其他所有亏损。我现在认为这需要同时满足两点，第一是足够的分散，第二是足够的高回报，同时满足的情况下，种子阶段的无数投资，就在整个组合层面构成了“胜率重于赔率”的应对非遍历性的策略，毕竟谁能成功不知道，有人成功就行，“赛道论”也有一定道理。

但是，这两个条件，在二级市场几乎都没法实现，因而对于二级市场来说，根本没有这个问题。胜率重于赔率是在长期中取得回报的几乎唯一方法，如果不是，那就是期限还不够长，再拉长就是了。

四、其他衍生思考记录

其实生活中的方方面面都具有非遍历性特征，理解这个概念，对我们观察生活多了一个难得的理性视角：

比如作者在书中举的滑雪例子，要完成六轮比赛，才能获得大满贯，然而最终的冠军不是滑得最快的，而是能完成比赛的人里面滑得最快的。因此夺冠的核心不是每场比赛都拼尽全力地出色表现，而是先要保证安全地完成六轮比赛，否则每场都逼自己到极限，可能中间某次职业生涯就终结了；

比如平均深度过河，水深平均一米六，我身高一米八，这个水深的平均值也一点没有意义。因为平均一米六的河水，很可能中间有部分超过2米，而我往前走却需要时时刻刻都不能被淹没；

比如上面说的俄罗斯轮盘，83%的胜率，作为整体投资1000个人参与，问题不大，作为个体，你却要离得远远的；

如此种种，生活中处处充满了非遍历性，让理论上平均数对生活本身没有一点指导意义。我不禁想，这是为什么呢？

第一，现实生活的不可逆。

上一轮的终点，就是下一轮的起点，在不可逆的情况下，所谓的平均数都没有意义。比如股息率是8%，我为什么不能用4%的融资杠杆来“无风险套利”，因为股价跌了就平仓归零了，这就是不可逆的。同样地，比如整体股票市场长期年化回报率是10%，你也不能用4%的融资杠杆来买入持有，因为股票下跌平仓后的反弹，才是这种所谓长期收益的来源，平仓后就归零了，这是不可逆的。

同样地，除了投资归零的影响，生活中的所有事情也都是不可逆的，未必是永远出局，只是阶段性的重大“损失”，就会对结果造成巨大影响。比如运动受伤了不可逆，休养一年重返赛场，远不如细水长流的锻炼进步；比如生意亏损了不可逆，亏一年几年白干的影响，远远不如稳定的少赚一点；比如婚姻出轨的感情伤害也是不可逆的……等等，面对所有不可逆的结果，都不能冒着侥幸心理赌一把，最终结果往往得不偿失。    

第二，大数定律的陷阱。

凡是概率相关原理，总是逃不开大数定律，这是归纳总结的精华，对于“整体”的规律思考很有帮助。但是，凡是隐含了大数定律的结论，对于个体而言最大的问题，就是没有用。嗯，没有用。

比如上面说的平均数（Average），有一个前提假设就是大数定律，这需要有“大量尝试”，但是现实生活的不可逆性，阻挡了你“理论上”的大量尝试，因而也就阻挡了你的个体结果向“期望数值”靠拢。即使我们拥有1000个平行宇宙中的人生，你所做的决策，也需要保证自己在足够多的宇宙中保持成功。至于当下这个现实的人生，平均数不仅没用，反而会充满误导。真的有点参考性的，反而是我们在学校中并不太关注的几何平均数。

认识到上述两点，如何应对也就是顺理成章了：

一方面，要处理生活中的不可逆，首先是不能归零，这就是为什么无论如何不能用杠杆投资，另外就是在不归零的情况下，也要极尽全力避免损失，赚多赚少不重要，不能亏钱，并且早赚晚赚都一样，因为几何平均是年化收益率相乘再开方，乘法彼此可以调换位置，不用急于一时。

另一方面，虽然我们不能控制结果，但是在基于胜率赔率的选择中，一定要确保足够高的胜率，才能让处于1000个平行世界中的我，大多数都有个好的结果，因而这个“当下的世界”中的我也才能有更好的概率，毕竟只有这个当下的我，才是我最切身关心的。    

综上，对于现实世界的非遍历性特征的认识，能够帮助我们获得一个看待生活的崭新视角。想通了也不难，可能很多人早就知道，觉得直白易懂是个本能，但是我竟是第一次从这个角度认识问题，看来理科都白学了。

不过，慢慢来吧。进一寸，有一寸的欢喜。

相关资料：

[1]https://luca-dellanna.com/

[2]https://luca-dellanna.com/what-is-ergodicity/

[3]https://ergodicityeconomics.com/2023/07/28/the-infamous-coin-toss/

本文来自微信公众号：无慢室，作者：彼得张Peter