那个发现“最大的数”的男人，走了

本文来自微信公众号：果壳（ID：Guokr42），作者：栗子，题图来自：Ronald Graham

数学家葛立恒（Ronald Graham）去世了，享年84岁。

他留给世界最著名的遗产，大概是葛立恒数了。那是一个神奇的数，作为“数学证明里出现过的最大的数”存在了很长时间。假如你还不认识它，就从现在开始吧。

葛立恒数在哪里

既然，葛立恒数是数学证明里出现的数，那葛立恒老师当时在研究一道怎样的数学题？

我们彼此相识，我们互不相识

讲到他的题目之前，必须先介绍拉姆齐定理。这条定理讲的是：

有一群人，不论他们之间有怎样的相识关系，如果要保证当中必有k个人两两认识，或者l个人互不相识，要有多少人才行？一定存在一个最小值R(k,l)。

也许，这样描述之后你还没有什么实感，那就代入简单的数字试一试：

有一群人，不论他们之间有怎样的相识关系，如果要保证当中必有3个人两两认识，或者3个人互不相识，要有多少人才行？一定存在一个最小值R(3,3)。

现在，把每个人看成一个顶点，任意两点可以连成一条边，认识连红色，不认识连蓝色。这样，每两点之间定有一条边。假如要保证必能找到一个红色三角形，或者一个蓝色三角形，求至少需要多少个顶点。

答案是6个顶点，要怎样证明呢？

假如有5个顶点 ，就可能找不到纯色三角形：

5个三角形皆非纯色。注意只有外侧5个顶点代表人类，中间那些交叉点不是人类，所以形成蓝色“小三角形”也不代表有3人互不相识，不能作数丨Rzukow

假如有6个顶点，一个顶点会发射5条边，由于只有两种颜色，必有3条边同色，假设同为红色：

图丨Snorri95

这3条红色边，对应了另外的3个顶点，这3点之间也要连线，非红即蓝。假如其中有1条红边，立刻构成红色三角形：

图丨Snorri95

假如3条全是蓝边，立刻构成蓝色三角形：

图丨Snorri95

因此，只要有6人，不论他们相识关系如何，都能保证其中必有三人两两认识或互不相识。而5人却无法保证这一点。也就是说，存在最小值R(3,3)=6。

看到这里，你大概知道拉姆齐定理在描述怎样的景色了。

葛立恒老师，便是在拉姆齐定理这个方向颇有建树。不过令他发现葛立恒数的那道题目，又比上面这个例子复杂不少。

刚刚我们沉浸在二维世界里，只考虑了图上的三个顶点能不能保证构成纯色三角形。而葛老想的是，在三维四维或者更高维度的世界里，能不能保证有一个平面上的四边形是纯色。

所以，生活在三维世界的我们，想遇见葛立恒数，也需要先体会一下多维空间的样子。

在多维世界相识

从二维空间开始，是几维空间，就能画出几条两两垂直的坐标轴。

二维空间里，有x轴和y轴互相垂直：

图丨Igsims96

三维空间里，有x,y,z三条坐标轴两两垂直：

图丨Igsims96

四维空间里，就有x,y,z,w四条坐标轴两两垂直：

图丨Igsims96

五维六维七维八维……多少维都适用。

继续类比，二维空间有正方形，三维空间有立方体，那四维空间里的“立方体”什么样？

从一维到四维丨Vitaly Ostrosablin

正方形有4个顶点，立方体有8个顶点，四维超立方体有16个顶点......n维超立方体，就有2ⁿ个顶点。

一个四维超立方体，包含了8个三维立方体（看起来像棱台的都是立方体）。

四维超立方体在三维空间的投影丨Mouagip

现在，终于可以开始描述葛老当年研究的题目了：

在一个n维立方体里面，把每两个顶点都连接起来，就会得到有2ⁿ个顶点的完全图。连接用的线或红或蓝。至少要在多少维的空间里，才能保证不论怎样选色，必有一面纯红或纯蓝？

用三维立方体举个例子，一面纯色代表4个顶点对应的6条边都是同种颜色（不是4条边）：

面也不一定是（超）立方体自带的面，可以是后期两两连接顶点形成的丨SiBr4

1971年，葛老和小伙伴一起证明了，的确存在最小的维度，可以保证一面纯色。

虽然没有证明究竟是多少维，但他们给出了一个非常巨大的上界：

这就是葛立恒数，代表那个最小的维度一定比这个数要小。

看到这里，关键问题出现了，这个数有多大？

“宇宙放不下”

葛立恒数，大就大在那些箭头（↑）上。

这个运算符号，是计算机科学家、图灵奖得主高德纳老爷爷发明的。

单箭头没有什么特别，就是“次方”的意思：

单箭头丨作者供图

双箭头可以分解成单箭头，肉眼可见地迅速变大：

二箭头丨作者供图

三箭头可以分解成双箭头，到这里已经是大到难以想象的大数了：

三箭头丨作者供图

四箭头可以分解成三箭头：

四箭头丨作者供图

假如再把三箭头分解成双箭头，这个式子就会变出3↑↑↑3个项，后果不堪设想，所以就在这停顿吧。不过，四箭头也只是整个塔的第一层而已。

再来欣赏一次64层塔的全貌：

你能想象它有多大么？

宇宙大约是个直径920亿光年的球体，而宇宙间最小的有意义的可测量长度普朗克长度大约是1.6×10^(-35) 米，一旦超过这个极限，现有的一切物理定律就都不适用了。

假设1个直径为普朗克长度的小球可以装下一位数，那么整个宇宙可以装下1.6×10¹⁸⁵位数。看上去不少了，但对葛立恒数来说，这到底算多大呢？

找个参照物：有一个数叫做googolplex（简称GP），是10^{(10^100)}。也就是说，它有10¹⁰⁰⁺¹这么多位数。但3↑↑↑3的大小已经超过了GP，3↑↑↑↑3的大小更超过了GP↑↑GP：

3↑↑↑↑3是塔的最底层丨作者供图

GP^{(GP^GP)}的位数应远远超过了宇宙能容纳的1.6*10¹⁸⁵位，但还不及葛立恒塔的第一层3↑↑↑↑3。这样看来，宇宙能容纳的位数，在葛立恒数面前过于渺小。

于是，葛立恒数在1980年获得了“数学证明中出现过的最大的数”这项吉尼斯世界纪录。

假如讲到这里，你依然没感觉到它究竟有多大，还有一种著名的说法可以参考：大脑如果要储存这个数，便会因为信息熵过大而坍缩成一个黑洞。

一数更比一数高

不过，这个传奇般的大数，还是在后来的日子里被更大的数击败了。

比如TREE (3) ，自它诞生之后，葛立恒数也显得微不足道。

而它除了大之外，还有一个更迷人的特质，就是可玩性。可以说，这是个从一个画树游戏里画出来的大数，而树叶的颜色有3种。

画树四个回合丨Numberphile

第一回合画的树只能有一片叶，第二回合最多两片，第三回合最多三片......并辅以一些有趣的附加条件，比如后面画的那棵树，如果去掉一些叶片后成了之前的树，那就是犯规了。

并且，如果你觉得TREE(3) 太难，还可以从TREE(1) 开始玩。祝各位成功打开大数之门。 

参考文献

[1] Graham's Number. (n.d.). Retrieved from https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html

[2] Ramsey Theory. (n.d.). Retrieved from https://mathworld.wolfram.com/RamseyTheory.html

[3] 大老李聊数学. (2017, December 12). 画树画出一个大数. Retrieved from https://dalaoliblog.wordpress.com/2017/12/12/%E7%94%BB%E6%A0%91%E7%94%BB%E5%87%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%A4%A7%E6%95%B0-

本文来自微信公众号：果壳（ID：Guokr42），作者：栗子