帕斯卡：一棵会思考的芦苇

本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：曹则贤，头图来自：视觉中国

帕斯卡是十七世纪法国著名的哲学家、神学家、数学家、物理学家、作家，同时也是发明家和企业家。帕斯卡属于早熟的天才，16岁即以圆锥曲线研究而闻名，发明了射影几何，18岁上发明了计算器。其数学成就还有创立了概率论和积分，研究二项式展开得到了帕斯卡三角；物理成就包括证明了真空的存在，有关于流体压强传递的帕斯卡定律，预言了大气压随高度的降低。帕斯卡能以最优美的法语撰写散文，30岁时即为确立法语规范做出了重大贡献，其《思想录》对后世影响甚巨。帕斯卡享年仅39岁。

Intelligenti pauca（对智者无需多言）。——西谚

引子

回想起来，笔者是在三个不同的场合关注到帕斯卡（Blaise Pascal, 1623-1662），这个名字的。初识帕斯卡是在初二的物理课上，知道了帕斯卡是压强的单位，但是课本没告诉我们帕斯卡是个人物的姓氏，更谈不上告诉我们其是哪个国家、哪个年代的人。至于液体的压强传递，课本倒是讲解了液压机的工作原理，而且是用作为民族骄傲的万吨水压机（江南造船厂，1.2万吨，1961年）作为例子的。

密闭的液体可以将压强传递到液体所在的任何地方、任何方向上。至于与液压相关的考题，则基本上是围绕着重力场中液体的压强只依赖于同液面的高度差，与容器的具体形状无关此一事实。后来才知道，液体传递背后的道理称为帕斯卡原理。

同是初中二年级，数学课上教了二项式展开公式，但仅限于二阶，即（a+b）²=a²+2ab+b²。这个极富美感的公式极大地提升了笔者学习数学的兴趣。大概是在初三的课堂上，又学了三阶二项式的展开公式（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³。这个稍微难一点。我一直不理解的是，为什么我们不一鼓作气介绍任意阶二项式展开公式（a+b）ⁿ？怕讲不清楚系数的一般表达式？

那你可以教具体的四阶、五阶的情形啊，让我们知道可以一直这样进行下去也好。怕教也教不会？那不教岂不是更不会吗？再说了，教一样东西，为什么一定要追求（立马）教会呢？不会，光听说过不行吗？

再者说，人们不是在学了很多不懂的东西以后有一天才能突然了悟的吗？很久以后的后来，大概是读研的时期，笔者才知道二项式展开公式（a+b）ⁿ对于不同的n ，n=0, 1, 2, 3，…，其系数可以排成一个三角形，我国称为杨辉三角，而在西方则称为Pascal triangle （图1）。至于知道帕斯卡三角里还隐含斐波那契数列、可以用于计算n张牌在另外三家的各种可能分布的几率，那是更后来的事儿了。

图1. 帕斯卡三角（杨辉三角）

第三个注意到帕斯卡的场合与一句话有关。作为一个量子力学爱好者，笔者不可避免地阅读过一本关于物理学家泡利的英文传记，书名为 “No time to be brief”，No time to be brief，没有时间简短？太俏皮了，能说出这样一句话的肯定是一个有趣的灵魂。

这引起了我格外的好奇。这句话出自哪里呢？泡利这本传记的作者没有交代出处。2014年，我在阅读Blaise Pascal ou le génie français（帕斯卡：法国天才）一书时，注意到帕斯卡在《致外省人信札》之第16封信的附言中有句云：Je n’ai fait celle-ci plus longue que parce que je n’ai pas eu le loisir de la faire plus courte（这封信有点儿长，因为我没闲暇把它弄简短了），这绝对是帕斯卡的风格。

这样的对比手法是帕斯卡给法语加上的一个烙印（见下）。我相信英文no time to be brief 的出处应该是这一句了。注意，《致外省人信札》的一般法文版本中都没有这个附言，网上有这句原文为Je vous écris une longue lettre parce que je n'ai pas le temps d'en écrire une courte的说法，意思没有什么出入。

职是之故，当我决定撰写一本通才型天才的故事书时，我告诉自己一定要包括帕斯卡。他太让我着迷了。

帕斯卡小传

帕斯卡（图2）出生于法国一个小贵族之家，有一个大三岁的姐姐吉尔伯特和一个小两岁的妹妹雅克琳。帕斯卡3岁丧母，8岁时其父艾蒂安（Etienne Pascal，1588-1651）决定自己教授三个孩子。许是由于听多了其父与同时代大学者的交谈，帕斯卡很小就对数学和物理表现出了强烈的兴趣。同帕斯卡父亲交往的有如下一些数学物理史必然会提到的人物，如Marin Mersenne（1588-1648，通才型学者）、Girard Desargues（1591-1661，数学家、工程师）、Pierre Gassendi （1592-1655，物理学家、天文学家、哲学家）和René Descartes（1596-1650，通才型学者）等人。我愿意再次重申，教育最有效的方式是熏陶！

图2. 帕斯卡（Blaise Pascal，1623-1662）

帕斯卡是法国历史上早熟、早逝的天才。他是作家、神学家、哲学家，当然还是数学家、物理学家，甚至还是发明家、企业家。帕斯卡16岁上就撰写了关于射影几何的论文，18岁就发明了六位数的加法器。他是概率论的奠基人之一，首先用概期望值的概念作为选择的基础，由二项式展开得到了神奇的帕斯卡三角。

他研究了几何的思想基础，分辨出两种不同的无穷，从而发明了积分和二重积分。他继续了托里切利（Evangelista Torricelli, 1608-1647）关于大气压的工作，预言高处气压必然降低；研究流体，提出了流体压强传递的帕斯卡原理；他论证真空的存在。帕斯卡是神学家、思想家，为了慈善筹款他创办了巴黎第一家马车公交公司，他的《致外省人信札》和《思想录》塑造了法语，也影响了法兰西的精神，其中又以《思想录》影响更巨。

帕斯卡的部分著作名录如下：

1. Essai pour les coniques（论圆锥曲线，1640）；

2. Expériences nouvelles touchant le vide （关于真空的新实验，1647）；

3. Récit de la grande expérience de l'équilibre des liqueurs（液体平衡大实验纪事，1648）；

4. Traité de la pesanteur de la masse de l’air（论空气重量，1651-1653）；

5. Traité du triangle arithmétique（算术三角，1654）；

6. Les Provinciales（致外省人信札，1656-1657）；

7. Éléments de géométrie（几何基础，1657）；

8. De l’Esprit géométrique et de l’Art de persuader（几何的精神与说服的艺术1657）；

9. Histoire de la roulette（轮盘赌历史，1658）；

10. L’Art de persuader（说服的艺术，1660）；

11. Pensées（思想录, 1669，遗著）；

12. Abrégé de la vie de Jésus-Christ（耶稣基督小传，1840年发现，1846年出版）。

有趣的是，帕斯卡的著作篇幅甚短。《论圆锥曲线》仅有1页，《关于真空的新实验》30页，《液体平衡大实验纪事》20页。比较著名的两本，《致外省人信札》的署名为Louis de Montalte，而《思想录》则是后人收集编纂的，有多种版本。

帕斯卡的数学成就

帕斯卡的数学成就皆为开创性的，有概率论、投影几何、积分等，最著名的有得自二项式展开的算术三角，即帕斯卡三角。帕斯卡三角在我国称为杨辉三角，比帕斯卡要早得多，可惜没有后续发展。

帕斯卡与同时期的费马（Pierre de Fermat, 1607-1665）在法国开启了概率论研究。概率论是源于赌博的学问，16世纪意大利人对赌博的研究要更早一些。帕斯卡和费马在这方面的研究都没有太深入。值得一提的是，帕斯卡在和费马的通讯中引入了期望值（expected value, expectation value）的概念，并以此来证明人为什么要信仰上帝和过一种有道德的生活（所谓Pascal’s wager，即基于概率论证的选择）。

帕斯卡和费马关于概率的计算为莱布尼茨的微分计算奠定了基础，这在牛顿那里也是一样的。一般微积分教科书不教微分技术上自概率计算的起源，也不教积分来自对物体重心的计算，我也不理解是为什么。

帕斯卡发明了射影几何。太阳底下的世界，发生投影是最自然不过的事情，然而物理系毕业的笔者却从没有被教过射影几何也是醉了。帕斯卡16岁上发表了只有一页的“论圆锥曲线”一文，留下了著名的帕斯卡定理，也叫六边形之谜定理（hexagrammum mysticum theorem）。

此定理指出，在圆锥曲线上选六个点ABCDEF，相对顺序可任意安排，六边形ABCDEF三组对边的三个交点总在一条直线上。由圆内接六边形的表现能猜出这个定理，但帕斯卡没有给出这个定理的一般性证明。关于这个定理有许多巧妙的现代证明，中学生朋友们不妨关注一下。

帕斯卡三角得自二项式（a+b）ⁿ的展开。应该容易得到，在古代中国、印度和阿拉伯的数学里都有。帕斯卡的“算术三角”一文写于1654年，可以推测他做出此发现应该是在更早的某个时期。在这篇文章中，帕斯卡引入了著名的数学归纳法（the principle of mathematical induction），这是一个让笔者非常痴迷的证明方法。1654年，帕斯卡做了一个神奇的梦，从此转而更多地投入宗教活动，减少了在数学研究方面的精力投入。

帕斯卡三角一目了然，但又是那种deceitfully simple（欺骗性地简单）的存在，不可小觑。帕斯卡三角内含多少奥秘，涉及多少数学，笔者才疏学浅不敢妄言，仅略举几例以飨读者。

例1、帕斯卡三角中，每一行的系数会告诉我们n个对象分成两拨儿的各种可能性。比如，对于n=5，系数为1, 5, 10, 10, 5, 1, 分别对应分布（5, 0），（4,1），（3, 2），（2, 3），（1,4），（0, 5）的分布。这可以用于计算n张牌在两人手中的各种概率。

当然啦，一个牌手应该会计算的是n张牌在另外三家手里各种可能分布的几率，高斯给出过这个问题的答案。提示，请试着展开（x+y+z）ⁿ，研究展开系数的规律。

例2、帕斯卡三角中，每一行的系数加起来为2ⁿ。用2ⁿ除以系数，得到二项式分布。如果n足够大，就是高斯分布。

例3、帕斯卡三角中隐藏着斐波那契数列。将帕斯卡三角排成图3的样子，将斜率为1的线所划过的数字相加，即得到斐波那契数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…..。

例4、帕斯卡三角是通往微分的桥梁。计算（x+Δx）ⁿ-xⁿ，即获得了n为整数时函数xⁿ的微分。

牛顿将n推广到任意实数，比如-4/3，则获得了对函数x^a的微分（参见拙著《一念非凡》）。

关于帕斯卡三角里的数学，还有很多不为笔者所知晓的内容。我有种感觉，如果就着帕斯卡三角深入研究，应还有新的发现。

图3. 帕斯卡三角的一种可得到斐波那契数列的排列方式

帕斯卡对数学上遭遇的无限概念有了深入思考，他提出一条曲线所定义的面积可当作是无限多数量的无穷小面积之和。这就是后来被称为黎曼积分的思想啊。帕斯卡发现，若曲线是根据某个幂次的多项式画出的，则面积就和高一位幂次的一条曲线的值成正比。

举例来说，曲线y=xⁿ是个关于x的多项式，这条曲线在x∈（0, a）段所围的面积正比于aⁿ⁺¹，帕斯卡这是发明了积分学。据说这是1658年5月的事情。用这个积分方法，帕斯卡解决了求摆线面积的问题。摆线是在直线上滚动的圆之边缘上的一点的轨迹，其形象会让人联想到拱桥的样子。1599年伽利略就有化摆线为方的尝试，即求摆线同作为基的直线所围的图形的面积。

帕斯卡可能是受到了费马的提醒，计算一个重复单元的摆线之重心的位置。用他自己发明的积分方法帕斯卡成功地解决了这个问题。他接着还计算了阿基米德螺线的重心，进一步计算了阿基米德螺线绕轴转动所获得之旋转体的体积以及这个旋转体的重心。学过微积分的读者想必已经想到了，帕斯卡这是发现了二重积分。

帕斯卡对数学的贡献还在于他对运算机械化的尝试。18岁那年，为了将父亲从繁重的税务计算中解放出来，帕斯卡尝试发明计算机器。他用齿轮加弹簧的方式解决了十进制加法的进位问题，一开始是制造用于六位数计算的装置，在1642-1644年间制造了50多台样机，1645年还制作了一台能进行八位数运算的。某种意义上说，帕斯卡发现了计算器的原理。

帕斯卡的物理成就

帕斯卡的物理学成就集中在对流体静力学和动力学方面的研究。他的研究对物理学的影响是如此之巨，以至于压强的单位定为帕斯卡，符号为Pa。在帕斯卡的时代，流体研究涉及的对象大致就是空气、水和水银（水银对物理学的发展太重要的了，气压的测定、超导的发现）。

关于流体静压力问题，帕斯卡认识到，开放容器中的静止液体，其在液体中所产生的压强只和距离液面的高度差有关，而与液体容器的形状无关。为了证明这个思想，传说有帕斯卡水桶实验：将水桶上面密接一个细的管子，从管子顶端注水，可以看到当水面高到一定程度时，水桶被压漏了（图4）。在细的管子中注水用不了多少水，所以桶被压漏了不是简单地由水的重量引起的。

进一步地，帕斯卡于1653年得出了关于液体压强的帕斯卡定律，也叫液压传递原理（the principle of transmission of fluid-pressure），用今天的话说，即不可压缩液体局域压强的变换可以传递到各处。基于液压传递原理，人类制造出了液压机，使得大型设备制造成为可能。强调一下，帕斯卡定律是个粗糙的表述，经不起更严格的推敲，但是对于工业应用来说，有现象的发现就够了。

图4. 帕斯卡水桶实验

1643年，意大利科学家托里切利成功测定了大气压。取一端开放的玻璃管灌满水银，将开放端没入一器皿所盛的水银中后倒置（防止气体进入），发现玻璃管中水银往下流出的过程最后会停止，且玻璃管中水银的液面要高出器皿中水银液面许多（图5）。以奥地利维也纳夏天的实验为准，水银柱高约为76cm，这也是标准大气压说法的由来。

受托里切利实验的启发，帕斯卡深入思考气压的问题。帕斯卡推测，如果空气有一定的重量，那么大气的高度就有个上限，则空气就应该越往上越稀薄。如果是这样，山顶的气压就比地面的要低，这是容易实验验证的。1648年9月19日，Florin Périer，即帕斯卡的姐夫，在他的再三央求下，登上了Puy-de-Dôme山，完成了对帕斯卡此一推断的实验验证。

图5. 托里切利测量大气压的实验

关于托里切利的实验，帕斯卡还有更深入的物理思考。在托里切利的实验中，玻璃管中部分水银流出，与此同时，玻璃管密封的一端出现了没有水银的一段。那么，在这一段里面有什么东西呢？那个时期的科学家相信plenum（全体论，认为物质，也许是不可见的，充满了整个空间），认为大自然讨厌真空（nature abhors a vacuum）。

帕斯卡就认为存在真空，玻璃管上端的水银下落后留下的部分就是真空。当然了，真空是个复杂的概念，后来的物理学关于真空还有更多的故事，比如粒子可以以粒子-反粒子对的形式从真空中激发。

思想者帕斯卡

帕斯卡被誉为法国古典时期最重要的作家之一，但他只享年39岁，留下的文字并不多，只有《致外省人信札》和《思想录》。《致外省人信札》是帕斯卡受冉森教派（jansenism）的鼓动同耶稣会展开论战以假托给一个外省人写信的方式而创作的，共有信件18封，都完整地保留了下来。

此信对于法语语言有较大的影响，但因为是关于西方宗教纷争的，对我国当前读者几无意义，就不作深入讨论了。但是，对法语感兴趣的读者，不妨知道人们对帕斯卡此处文笔的评价：“（关于文章）该有的都有了——语言之纯净，思想之高贵，论证之详实，嘲讽之巧妙，还有别处不易见到的通篇皆令人愉悦。”

就笔者而言，《致外省人信札》的影响就是第16封信附言中的那句“我实在没有时间写得更短一些”，其英语转述no time to be brief相当有哲学味道。

帕斯卡是近代法国与笛卡尔齐名的伟大哲学家，有他的《思想录》为证。帕斯卡的《思想录》是后世别人收集整理的，版本较多，内容也稍有出入。《思想录》广为流传，其中一些名句大家都耳熟能详，兹略举几例以飨读者。

1. 人所有的悲惨成就了它的伟大。（Ainsi toutes ces misères prouvent sa grandeur.）

2. 人只不过是一根芦苇，是自然界里最脆弱的东西；但它是一根能思想的苇草。用不着整个宇宙都武装起来去毁灭它；一口气、一滴水就足以将它置于死地了。然而，纵使宇宙毁灭了它，人却仍然要比置它于死地的东西高贵得多；因为它知道它要死亡，以及宇宙对它所具有的优势，而宇宙对此却是一无所知。我们全部的尊严就在于思想。（L’homme n’est qu’un roseau le plus faible de la nature ; mais c’est un roseau pensant. Il ne faut pas que l’univers entier s'arme pour l’écraser. Une vapeur, une goutte d’eau suffit pour le tuer. Mais quand l’univers l’écraserait, l’homme serait encore plus noble que ce qui le tue ([107]), parce qu’il sait qu’il meurt ; et l’avantage que l’univers a sur lui, l’univers n’en sait rien. Ainsi toute notre dignité consiste dans la pensée.）

3. 努力从而更好地思考，这是精神的原则。（Travaillons donc à bien penser ! Voilà le principe de la morale. ）

4. 人为了思考而生。（L’homme est né pour penser.）

5. 我不是一个必要的存在，我也不是永恒的、无限的，但我确实知道自然中有必要的、永恒的、无限的存在。（Donc je ne suis pas un être nécessaire. Je ne suis pas aussi éternel, ni infini ; mais je vois bien qu’il y a dans la nature un être nécessaire, éternel, infini.）

6. 人在同困难的斗争中寻求安宁；而一旦克服了困难，安宁便失去了基础。（On cherche le repos en combattant quelques obstacles; et si on les a surmontés, le repos deviant insupportable.）

7. 过分关注人在多大程度上等同于兽而不让它看到它的伟大，是危险的；而过分关注它的伟大而不注意它的猥琐则更加危险。（Il est dangereux de trop faire voir à l’homme combien il est égal aux bêtes, sans lui montrer sa grandeur. Il est encore dangereux de lui faire trop voir sa grandeur sans sa bassesse.）

帕斯卡的哲学思想，当然是更多地体现在他如何看待数学、物理世界上，散见于他的诸多论述中。其中，《论几何的精神》尤其值得数学家们一读。它对于几何的思考具有基础的意义，不过却是初涉几何的少年人无法理解的。在《论几何的精神》一书中，帕斯卡发展了定义的理论。

帕斯卡发现在我们的语言体系中总有终于无法再行定义的内容，即语言中每个人都懂的、自然指向其指涉对象的定义。对数学和物理学重要的则是那种要由作者加以定义的约定标签，因此要采纳笛卡尔的形式哲学。《论几何的精神》是在帕斯卡去世一世纪后才被发现的。

多余的话

关于帕斯卡的描述，总绕不过génie（天才）这个词儿。关于天才这个词儿，我觉得有必要罗嗦两句。中文说天才，其一指生来就有的才干（native ability），其二指老天造就的人才（a genius of talent），天赋异禀，即老天给了他一些别人可能学也学不会的能力，比如超强的记忆力、理解力、感知力、表现力，等等。

字面上理解天才，一在“天”，二在“赋，给”。法文、英文中的天才，génie，genius，字面意思在于“生”，强调是生就的，对应汉语天才中的“天”所要表达的意思。西语中genius还用来表示每个人的守护神。表述一个有天分的人，英语还会说a gifted man，gift，是动词give（德语为geben）对应的名词，也作动词用。

Gift，就是“赋，给”，gift在英语里可作礼物解。在德语里，阴性名词die Gift还是礼物、嫁妆的意思，但作为中性名词das Gift是毒（估计是那种人家不肯接受的给。想象一下潘金莲硬塞给武大郎的那碗汤药），作为阳性名词der Gift则是恼火、火气（估计是因为遭遇了爱要不要、不要也要给的那种给）。由动词geben引申而来的名词die Begabe，被赠与的东西，既是中文所说的天赋。

关于天才如何能得以作为天才为他人所认知，我觉得要明确三点。其一，他必须生来就有天赋，这是一桩来自父母的偶然。一个人出生时父母的状态就是他人生的起跑线。其二，他要有好的教育让他的天才得以健康发育。其三，他要有一个让他的天才得以发挥从而获得被认可的证据的舞台。天分、教育和舞台，是天才的亮光能够照进现实的三要素。由此我们也看到，天才，或者退一步说一般的优秀人物，首先是生的。培养是第二位的。

帕斯卡没上过学，没有头衔，也没有什么机构好让他去借取名声，这让他的名声显得那么干净、可信。他就是一棵会思考的芦苇，不枝不蔓。帕斯卡作为天才的一个不同寻常处是他某一天有了以各种化身同时活着的想法。

据信，最多时帕斯卡用七个化身同时做不同的事情。某一时刻帕斯卡的化身之一在研究数学，其二撰写关于人类状况的思考，第三个用来周旋于上流社会，这三个角色各有各的个性、风格、抱负和理想，而第四个是很快会死去、岌岌无名、无后、力图通过绝对的谦恭获得救赎的那个人。

三年后，是另外一个叫Louis de Montalte的论战者以法国文学史上最著名的辩论《致外省人信札》而彪炳史册。而由这个法语名字Louis de Montalte的字母重新组合而来的一些名字，帕斯卡会在不同时期出于不同目的使用过。

抨击讽刺是天才的本分，无声地蔑视也是。这样的天才自然是不讨人喜欢的。但是，帕斯卡可能是因为实在太伟大了，他这棵会思想的芦苇在世的时候就赢得了人们的爱戴。然而，他这棵芦苇确实是太脆弱的，仅仅享年39岁。在这短短39年时光里，其中很大一部分时间他都是在病痛中度过，帕斯卡为人类留下了宝贵的精神财富。或许正如他所说，人所有的悲惨成就了它的伟大。

但愿未来的岁月里，有更多人样的芦苇，能恣意沐浴着阳光，静静地思考（图6）。

图6. 阳光中静静思考的芦苇

参考文献

[1] Jacques Attali, Blaise Pascal ou le génie français (帕斯卡：法国天才), Distribooks Inc. (2002). 鲁方根，赵伟 译，《帕斯卡尔：改变世界的天才》，上海人民出版社(2014).

[2] Donal Adamson, Blaise Pascal: Mathematician, Physicist and Thinker about God, St. Martin’s Press (1995).

[3] Nicolas Hammond (ed.), The Cambridge Companion to Pascal, Cambridge University Press (2003).

[4] Vlad Alexandrescu, Le Paradoxe chez Blaise Pascal (帕斯卡家的悖论), Peter Lang (1997).

[5] Charles Baudouin, Blaise Pascal ou l’ordre du coeur (帕斯卡：心之序),  Plon (1962).

[6] André Bord, Lumière et Ténèbres chez Pascal (帕斯卡家的光明与黑暗), Pierre Téqui (2006).

[7] Hans Loeffel, Blaise Pascal 1623-1662, Birkhäuser Verlag (1987).

[8] Charles Paul Enz, No Time to Be Brief: A Scientific Biography of Wolfgang Pauli. Oxford University Press (2002). 

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