一个存在已久的数学猜想被解开了

本文来自微信公众号：原理 （ID：principia1687），作者：佐佑，头图来自：pixabay

库默尔的困惑  

1846年，德国数学家恩斯特·库默尔（Ernst Kummer）首次注意到了一个与数字有关的疑惑，并随之提出了一个猜想。自那之后，寻找这个猜想的证明便成了许多数学家的目标。

到了20世纪50年代，普林斯顿高等研究院（IAS）的一组研究人员用计算机对这个问题进行了研究，发现库默尔所认为的这一数论的奇特特征其实是错的。但之后，一些数学家又发现了能够表明这一猜想实际上是正确的的迹象。

在经过一番曲折之后，现在，来自加州理工学院的两位数学家Alexander  Dunn和Maksym Radziwill终于为这个谜题画上了完美的句号，他们找到了证据证明——库默尔一直是对的。2021年9月，他们将证明发表在了预印网站arXiv上。

二次和三次高斯和  

这个数学谜题与高斯和（Gauss sum）有关。高斯和是由18世纪著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯发展出的一个复杂概念，它能够很容易地映射方程解的分布。

这种求和涉及到模运算。理解模运算的一个简单方法就是类比我们生活中常见的钟表：表盘被分成12份，每份代表一个小时，当中午或午夜到来时，数字就会重置并返回到1。

模运算是数学中的一种剥离信息，使复杂到不可思议的方程变得更简单的有效方法。这个“模12”系统简化了计时过程，使我们不需要无休止地一直计数每一个小时。

在计算二次高斯和时，高斯也用到了与钟表计时非常类似的模运算。他研究的是非平凡素数（用p表示，指除以3后余数为1的素数）的二次高斯和的分布，这些素数p以e^{2iπn^2/p}的形式相加。

二次高斯和。

到了19世纪中期，库默尔开始感兴趣于一个与二次高斯和很类似的公式，将e^{2iπn^2/p}的指数中的n²替换成了n³。那时，他只能依靠笔和纸对这些和进行计算，计算难度非常大。而且为了能将答案一个一个地绘制在一条数轴上，他还必须先将数值答案正规化，使它们都落在-1到1之间。

三次高斯和。

他艰难地计算了前45个非平凡素数的三次高斯和。在绘制出数值分布后，他观察到了出乎意料的结果：理论上，经过正规化的三次高斯和可以是-1到1之间的任何值，但他却发现这些结果的分布并不是均匀随机的，而是更多的趋向于聚集在数轴的正向端，也就是1附近——约有一半在1/2到1之间，1/6在-1到-1/2之间。

也就是说，库默尔观察到了一种偏倚。于是，他提出猜想：如果能绘制出无穷多个三次高斯和的分布，会发现它们大多位于1/2到1之间，−1/2到1/2之间较少，−1到−1/2之间更少。

库默尔错了？ 

时间来到上世纪50年代，由数学家阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）与约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）等人开始用早期计算机计算所有小于10，000的非平凡素数的三次高斯和，这一计算大约包含了1500多万次的乘法运算。当他们将这大约600个数值结果标记在数轴上时，惊奇地发现，之前库默尔看见的偏倚消失不见了。

他们注意到，随着素数变得越来越大，正规化的高斯和会越来越倾向于不聚集在1附近，而是呈随机分布。他们认为，库默尔的猜想或许错了。

1978年，剑桥大学的数学家塞缪尔·帕特森（Samuel Patterson）试图更深入地理解三次高斯和。他对这一问题的研究始于思考将这些数字随机放在-1和1之间的情况：如果将N个这样的随机数字相加，那么总和的标准大小将为√N（它可以是正的或负的）。同样，如果三次高斯和均匀地分布在−1到1之间，那么就可以预期N个高斯和的总和大约为√N。

带着这个想法，帕特森把N个三次高斯和加起来，并暂时忽略了都是素数的要求。他发现总和会落在N^5/6左右，N^5/6比√N大，但比N小。这个值告诉了帕特森一些重要的信息：在更早的时候，有数学家已经证明，一组真正随机的结果之和大约为√N，如果总和约为N^5/6，则意味着这些和基本上是随机的，但存在一个细微的额外因素会使它们略微更向正值偏倚。

如果情况果真如此，那么就解释了为什么库默尔的结果看起来并非随机，以及为什么随机性会随着素数的增加而越趋明显：这是一个渐进问题，当N较小时，这个额外的因素足以以明显的方式影响结果，显现出偏倚；但随着N越来越大，分布中的随机性就会开始盖过偏倚，所以能够看到的就只有随机性。

帕特森认为，如果能观察到无限个三次高斯和的样子，就会发现它们是均匀分布的。可惜的是，帕特森无法用素数进行这样的计算。1978年，他正式将它写成了一个猜想：如果把素数的三次高斯和相加，能得到相同的总和落在N^5/6左右的情况。

证明帕特森猜想  

帕特森自己无法证明这个猜想，直到去年，Dunn和Radziwill才终于弄明白究竟为什么会这样。

两年前，Dunn和Radziwill决定一起破解帕特森猜想问题。他们的解决方案是基于牛津大学的罗杰·希思-布朗（Roger Heath-Brown）的工作。希斯-布朗曾和帕特森合作研究过这个问题，当时，两人的合作在这个问题上取得了一些进展，但仍然不能真正证明帕特森预测的N^5/6偏倚情况对素数来说也成立。

然后在2000年，希斯-布朗取得了一项突破，他发展了一种名为三次大筛法的工具，这个工具在帮助证明帕特森猜想方面发挥了重大作用。他证明了如果将小于N的素数的三次高斯和相加，结果不会比N^5/6大很多。可以说，希斯-布朗离胜利已经非常接近，但仍没有达成完整的证明。

希斯-布朗认为通过改进大筛法本身，还能进一步改改善结果，从而证明帕特森的猜想。通过简短的文字，他勾勒出了他认为的最好公式。但在这之后，数学家们鲜少取得进展。

直到近年来，Dunn和Radziwill发现，当他们使用希斯-布朗在2000年写下的三次大筛法的公式时，意识到这似乎存在一些不对的地方，大筛法并不能很好地运作。于是，他们重新校准了研究帕特森猜想的方法。

2021年9月15日，他们发布了他们的论文。他们的证明似乎是成功的，除了还有最后一个小问题：在他们的证明中，有一个部分依赖于尚未被证明的广义黎曼猜想，这也使得他们的证明是有条件的。

被指出“犯了错”的希斯-布朗在了解了这篇新的论文后并没有沮丧，而是认为Dunn和Radziwill出人意料地洞悉了三次大筛法中的问题，帮助数学家们摆脱了大筛法的误导，为这一问题带来惊喜的结局。

参考来源：

https://www.caltech.edu/about/news/caltech-mathematicians-solve-19th-century-number-riddle

https://www.quantamagazine.org/a-numerical-mystery-from-the-19th-century-finally-gets-solved-20220815/

https://www.iflscience.com/after-175-years-two-false-conjectures-and-the-birth-of-computing-this-theorem-finally-has-a-proof-65065

https://arxiv.org/pdf/2109.07463.pdf

本文来自微信公众号：原理 （ID：principia1687），作者：佐佑