寻找欧拉方程中的奇点

本文来自微信公众号：原理 （ID：principia1687），作者：佐佑，头图来自：unsplash

千禧年大奖难题 

海洋中流动的水，大气中翻滚的风，飞机机翼周围流过的气流……一直以来，自然界中流体的运动，都是用所谓的纳维-斯托克斯方程（NS方程）来描述和模拟的。

自1822年提出以来，NS方程已经帮助无数物理学家和工程师解决了大量与流体有关的问题。然而，对于数学家来说，他们仍不确定这组方程能否准确地描述所有可能情况下的流体。

换句话说，数学家还有更基础的问题要理解，即NS方程存在性和光滑性问题。这个问题是数学界一座无法逾越的大山，也是七个千禧年大奖难题之一。

简单地说，对光滑性的质疑指的是：有没有可能在某些情况下，这些方程不能以一种可预测的、有意义的方式运行，它们会失效，产生不正确、没有意义的答案，或者根本无法给出答案。

欧拉方程 

其实，包括NS方程在内，几乎所有的非线性流体方程都是从一类被称为欧拉方程的流体方程中推导出来的。1757年，数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）提出了欧拉方程。

欧拉方程描述的是流体随时间的演化，但它们描述的是一个理想化的世界，在这个世界里，流体具有一些不切实际的特性，比如它假设流体是没有粘性、不可压缩的。换句话说，欧拉方程是NS方程的某种简化版本。

今年10月，预印网站arXiv上出现了一篇论文。在这篇长达177页的论文中，加州理工学院的数学家Thomas Y Hou（侯一钊）和Jiajie Chen（陈嘉杰）解决了一个与欧拉方程有关的未解之谜，证明了欧拉方程的一个特定版本有时确实会失效。

这个问题被称为“3D欧拉奇点”问题。“奇点”指的是方程开始失效，产生无穷大的点。当它出现时，方程会在没有任何预警的情况下突然变得紊乱，

2013年提出的奇点场景 

早在2013年，在另一项研究中，Hou与应用数学家Guo Luo（罗果）就在对流体进行的数值模拟时，提出了一种会产生奇点的场景：他们让计算机用欧拉方程来模拟圆柱体容器中流体的运动，这些流体的上半部分顺时针旋转，下半部分逆时针旋转（下图左）。随着旋转与容器的侧面内壁的相互作用，产生了更复杂的上下流动（下图右）。

Hou与Luo在2013年提出的能让欧拉方程出现奇点的场景。（图/原理）

模拟结果显示，在容器中部，也就是两种流动相遇的地方，流体的涡量（旋转的速度和方向）会急剧增大，这种增长速度非常之快，能在短时间内就变成无穷大。

这种无穷大就是奇点，正是数学家们想要确切知道是否存在于欧拉方程以及NS方程中的值。只可惜，虽然当时Hou与Luo的研究非常具有启发性，但那并不是真正的证据，因为计算机无法计算出无穷大的值。换句话说，它可以非常接近看到奇点，是一个近似解，但却不是一个真正关于奇点的精确解。

奇点的证明  

在最新的论文中，Hou与他之前的博士研究生Chen终于成功地展现了3D欧拉奇点存在的确凿、无可辩驳的证据。

在仔细分析了2013年得到的近似解后，研究人员发现，随着时间的推移，这些方程的解呈现出一种“自相似”模式，即后来的形状看起来与前面的形状很像，只是以一种特定的方式被缩放了。

这让研究人员意识到，他们可以将注意力放在更早的数值点上，而不是直接研究奇点本身。通过以正确的速率放大前面的数值，就可以模拟之后的情况，并最终研究到奇点。

他们先是基于2013年的研究，努力寻找到了一个与那项研究结果情形相近的自相似解。接着，他们需要做的是证明在这个解的附近存在一个精确解。在数学上，这相当于证明这个近似自相似解是稳定的。

在这个问题上，他们面临的第一个挑战就是找出一个必须证明的确切命题。他们想要证明的是，如果取一组“接近”这个近似解的值，然后将它们代入方程，得到的结果不会偏差太多。而问题是，什么是“接近”？因此，他们需要先准确给出“接近”的定义。

在对“接近”有了正确的描述后，他们要对这一命题展开证明。最终，这个问题被归结为一个复杂的包括了缩放方程和近似解的项的不等式。为了得到不等式中所有项的严格的界，他们将不等式分成了两个部分。一部分可以通过手算解决，而另一部分则必须依靠计算机的介入。

最终，他们找到了所有项的界，并发现方程的确产生了一个奇点，为证明画上了完美地句点。

重大的突破  

虽然这项工作没有完全解决更一般的欧拉方程的问题，但这一证明标志着一个重大突破。它给我们带来了希望，表明这样的证明是可以实现的。

同时，这个分析所建立的框架对解决NS问题也有非常重要的有帮助，它代表着解决NS千禧年大奖难题的一个巨大飞跃——如果NS方程也存在这样的奇点，那么将意味着用来描述自然的最基本方程之一在根本上存在问题。

Hou表示，在他工作的头十年里，他并不相信欧拉奇点的存在。经过十多年的研究，他不仅证明自己以前想错了，还解开了一个有着数百年之久的数学谜题。

参考来源：

https://www.caltech.edu/about/news/pushing-the-boundaries-of-fluid-equations

https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

本文来自微信公众号：原理 （ID：principia1687），作者：佐佑