我们犯的那些“错误”，或许才是创造力的关键

本文来自微信公众号：神经现实 （ID：neureality），Tim Palmer（牛津大学皇家学会研究教授），译者：Kingsley，校对、编辑：M.W.，原文标题：《噪声或许是创造力的关键？》，题图来自：视觉中国

每时每刻我们都需要做出艰难的选择。在我人生中最困难的决定，就是在博士生涯之后是否要从基础物理转向气象物理的研究领域。当时我同时拥有两个可以引领我进入这两个方向的工作选择——一个是加入剑桥大学的史蒂夫·霍金的相对论与引力小组^[1]，另一个是加入英国气象局^[2]成为一名科学技术公职人员。

我像所有人做选择时那样写下了这两个选择的所有优劣，但是那完全不能让我理清思绪。我就像是布里丹之驴*^[3]一样无法在两堆干草或两桶水中做出选择。那次可真是经典的过度分析案例。

*译者注：布里丹之驴（Buridan’s donkey）：以法国哲学家让·布里丹命名的悖论——一只完全理性的驴无法在完全相同的两垛干草之间做出理性的决定，最终只能饿死。

这决策的过程已经烧坏了我的脑袋，所以我决定在这几周内忘掉这件事继续生活。在此期间，我的潜意识已经帮助我做出了选择。某天当我踏入办公室，答案突然清晰地浮现出来：我想要改变，踏上学习气象的道路。

在四十多年后的今天，我也会做出同样的决定。的确，在那之后我踏上了充实的职业道路，开发着一种崭新的、以概率论为导向的预测气象的方式^[4]，旨在帮助人道主义机构和赈灾机构在极端天气来临之前做出更好的决策。

但是我依旧持续不断地被当时我脑中所发生的事情所吸引。我的潜意识竟然能够做出意识所不能做出的改变人生的决策。为了理解这脑中所发生的过程，我们是否在理解如何做出艰难的决定之外，更需要理解人类作为一种如此有创造力的物种如何完成了想象力的飞跃？我相信如果我们更加理解“噪声”的力量，这两个问题也就迎刃而解了。

不精确的超级计算机

我从前用纸笔研究着爱因斯坦广义相对论中的数学，转眼间却在世界上最大的超级计算机上运行起了复杂的气象模型。超级计算机已经十分巨大，但它们仍然没有大到足以囊括真实气候系统中的复杂性。

在我早年的研究当中，只需要等上几年就可以看到最高等级的超级计算机的运算能力提升两倍。那是一个晶体管^[5]（transistor）变得越来越小、而每个集成电路中挤进的晶体管越来越多的时代。也因此，计算机性能每隔几年就会成倍提升，就像摩尔定律^[6]预测的那样。

然而，为了令晶体管维持其关键的开关功能的稳定性，晶体管的缩小是有限度的。如今，晶体管已经开始趋近于原子大小^[7]，我们也差不多到达了摩尔定律的极限。为了达成更高的数据处理水平，电脑制造商必须将更多塞满芯片的计算机箱组装到一起。

但是这里有一个问题。这种增强数据处理水平的方式需要更多的电力支撑——现如今，有一个网球场那么大的超级计算机需要消耗千万瓦的电力。为了精准预测气候变化的效果，我们用着这么多电能，这让我无地自容。

这就是为什么我对构建更精准却不会更耗能的气象预测模型产生了兴趣。而我对此的核心想法听上去有悖直觉：我们可以在气象预测模型中加更多的随机数或“噪声”来让其更加精准地预测天气。

噪声的建设性角色

噪声经常被视作要随时随地消灭的累赘。在电信系统中，我们通过尽可能增强信号或者减少背景噪声来最大化“信号-噪声比”。然而，在非线性系统^[8]中，噪声有时是个增强信号的好帮手。（非线性系统指系统输出并不与系统输入呈正比的系统。比如，你也许会因为买彩票中了一百万感到十分开心，但并不会因为中了两百万变得双倍开心。）

比如说，噪声可以帮助我们找到像图一所示复杂曲线的最大值。在很多物理、生物、社会科学以及工程学的问题中，我们就需要找到这样的最大值。在我研究的气象学领域中，要找到一个预测全球天气的最佳初始状态，就要在一个非常复杂的气象学函数^[9]中找到最大值。

图一：一条有许多局部峰值和低谷的曲线。由作者提供

然而，一般我们无法用一种“确定性算法”^[10]找到绝对最大值。这种类型的算法给出的答案经常卡在局部最大值上（比如说图一中的a点），因为在局部最大值的位置，曲线同时在两个方向都呈下降的趋势。

用以解决这种困难的方法是一种叫做“模拟退火”^[11]（simulated annealing）的技术。这种技术之所以叫做“模拟退火”是因为它与退火^[12]的过程相似。退火是一种可以改变金属性质的热处理方式，而模拟退火用噪声来解决困在局部最大值的问题。这种技术曾经被用于解决许多问题，包括经典的旅行推销员谜题^[13]，也就是“找到地图上的诸多城市之间的最短路径”^[14]。

图一展示了用以下标准来定位曲线绝对最大值（点9）的可能路线：

• 如果一个随机选取的新点比现在所在曲线上的位置要高，那就移动到新点。

• 如果一个随机选取的新点比当前点的位置要低，新点指向的路径也不一定会被拒绝，取决于新点是比现在所在曲线上的位置要低很多还是低一点。

然而，移动到新点的决策还取决于分析运行的时长。在分析的初期，比现在所在位置要低很多的新点也许会被采纳，而在运行后期，只有那些比现在所在位置要高或者只低一点的新点会被采纳。

这个技术被称为作模拟退火是因为在早期运行的阶段，该系统灵活且易变，就像是热金属在早期冷却的阶段一样；而在后期运行的阶段，系统已经变得几乎固定且不能再被改变，就像是热金属在后期冷却的阶段一样。

噪声如何帮助气象模型

噪声在20年前被引入全面的天气和气象模型^[15]当中，主要是为了表征模型在预测天气时的不确定性。结果科学家发现加入噪声会减少一些模型的偏差，能使其更加准确地模拟天气和气候。

不幸的是，这些模型需要巨大的超级计算机和很多能量才得以运行。模型将世界分割成小的立体网格块，每个网格块中都有大气和海洋的数值——虽然每个数值被假设为常数，但当然它们并不是常数。一个典型网格块的水平尺寸大概有10万米左右，所以使模型更加精确的其中一种方式是将尺寸缩短到5万米、1万米甚至1千米。然而，将网格块的体积缩小一半将会使运行模型的计算成本上升16倍，也就是说将会消耗多得多的能量。

Sabine Hossenfelder：Did scientists get climate change wrong？对本文作者Tim Palmer的采访。

在这一方面，噪声同样成了一种诱人的选项。这个选项^[16]提供了一种可能性——用噪声表征小型气候系统（例如湍流、云系统、海洋漩涡等）中无法预测（且无法用模型解释）的变幻。

我认为加入噪声的方案在增加准确性的同时并不会使计算成本由于减小立体网格块体积而上升。比如说，像现在已经证实的一样^[17]，在气候模拟系统中加入噪声会提高巨型龙卷风产生的可能性，也就反映出了真实世界中由于气候变化，天气变得更加极端的现实。

我们用于建模的计算硬件本身也充满了噪声——由于所处环境充斥的热度，电子在计算机中的电线中以部分随机的方式进行运动。这种随机性被称为“热噪声”。那我们是否可以通过利用硬件的随机性而非在软件中生成伪随机数来节省更多的能量呢？对我来说，低耗能且本身就充斥噪声的“不精确的”超级计算机^[18]听起来像是一个双赢的策略。

然而并非我所有的同事都同意我的想法。他们对于计算机无法每天都生成相同结果感到不适。为了试图说服他们，我开始思考是否有其他真实世界的系统也由于可用能量有限，利用了其硬件中自带的噪声。就是在这时，我突然想起了人类的大脑。

大脑中的噪声

醒来的每天每秒，单单我们的眼睛就会向大脑传输千兆字节的信息。这样的信息量与气象模型每次向内存传输的数据量没有什么区别。

大脑需要处理信息并且从某种程度上理解信息。如果大脑在处理和理解信息的过程中消耗了等同于超级计算机所消耗的能量，那已经够了不起了。但是它只用了超级计算机所需的百万分之一的能量，也就是20瓦而非20000000瓦——让一个灯泡亮起来所需的功率。这样的令人难以置信的能量利用率真是了不起。那大脑到底是怎样做到这一点的呢？

一个成人的大脑大约包括800亿神经元。每个神经元都有一条细长的生物电线——也就是轴突。电脉冲沿着轴突的方向从一个神经元被传送到另一个神经元。然而这些共同描述了大脑内信息的电脉冲，需要由在轴突上彼此间隔、平均分布的蛋白质“晶体管”增强。如果没有这些“晶体管”的帮助，电脉冲信号会分散并消失。

显微镜下的大脑中的神经元和轴突示意图 by Andrey Prokhorov

增强所需的能量来自于血液中的有机物ATP（三磷酸腺苷）。ATP使带电粒子如钠和钾（离子）可以从神经管道壁的小通道中被推出去，创造出能在神经元电信号于轴突中穿行的时候放大信号的电压——就像在硅制晶体管中那样。

千万个神经元中平均散布着20瓦的功率，所涉及的电压很小，轴突电缆也是如此^[19]。有证据表明，直径不到1微米的轴突（大部分脑中的轴突都是如此）非常容易受噪声影响^[20]。也就是说，大脑是一个嘈杂的系统。

如果噪声只是产生了没有任何帮助的“大脑迷雾”，那么你也许会想，为什么我们的大脑还是演化出了如此多纤细的轴突？其实，拥有更粗大的轴突能带来很多好处：信号能沿着轴突更快地传播。如果我们需要更快的反应时间来从捕食者手下逃生，那么细长的轴突只会带来劣势^[21]。

然而，演化角度上，发展出以群体形式来抵御外敌的方式也许更重要，也就减少了我们对于快速反应的需求，因此导向了细长轴突的演化趋势。

也许，进一步增加神经元数量并缩小轴突尺寸、同时使得能量消耗维持不变的演化突变是出于意外才使得大脑的神经元更容易受到噪声的影响。但有越来越多的证据表明，大脑中的噪声在增强人们解决依赖想象力和创造力的问题的能力上，有着惊人的作用。

也许是在噪声于我们脑中浮现之后，我们才成为了真正的人类？

如何在脑中好好运用噪声

许多动物发展出了解决问题的创造性方式，然而动物界中却始终没有人类中如莎士比亚、巴赫或爱因斯坦一般的创造性天才。

极具创造力的天才究竟是如何想出他们的点子的呢？在想出他一鸣惊人的费马大定理（Fermat’s Last Theorem）的数学证明的那段时间，大概是在世的数学家中最举世闻名的安德鲁·威尔士^[22]（Andrew Wiles）说过：

当你彻底陷入的僵局时，常规的数学思维对你毫无用处。在产生出对问题的新想法之前，你要长时间全神贯注于这个问题且不要分心。你必须真的只思考那一个问题——专注于它。然后你要停下来。[此时]在这段放松期间，潜意识好像接管了一切——正是在这段时间里一些新的想法才会出现。

*译者注：想了解更多，可观看电影《费马大定理》（西蒙·辛格导演）。

这个现象似乎很普遍。诺贝尔物理学奖得主罗杰·彭罗斯^[23]（Roger Penrose）提及过他灵光一现的一个瞬间：那时，他正和同事穿过一条忙碌的街道（也许是在思考他们的对话的同时正在注意迎面而来的交通状况）。对于混沌理论（chaos theory）之父亨利·庞加莱^[24]（Henri Poincaré）来说，那个时刻是他赶公车的时候。

这种领悟现象不仅出现在数学和物理领域的创造力当中。巨蟒剧团（Monty Python）著名喜剧人约翰·克里斯（John Cleese）对于艺术创造力发表过差不多完全相同的看法：创造力不会产生于你全神贯注于问题的当下，而是在你放松并让你的潜意识游荡之时。

诚然，不是所有从你潜意识中涌现的想法都会令你恍然大悟。物理学家迈克尔·贝瑞（Michael Berry）认为这些潜意识的想法就像是某种可以被称为“清晰子”的基础粒子一样^[25]：

事实上，我对粒子物理学确实可以做出的一条贡献是……[发现了]构成恍然大悟的基础粒子“清晰子”。任何科学家在这种粒子被创造的时候都会惊叹道，“原来如此！”然而这里存在一个问题：今天的清晰子常常和明天的“反清晰子”相互“湮灭”（annihilate）。所以我们很多的心灵涂鸦都消失在了反清晰子的废墟之中。

我们都有过以下这种经验：在白日冷光的照耀下，我们大部分“精彩”的潜意识想法会被逻辑思维所湮灭。只有很少，很少，很少的一部分清晰子在这一湮灭过程之后留存下来。但是留下来的那些清晰子一般都会是无价之宝。

诺贝尔奖得主心理学家丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）在他著名的书籍《快思慢想》^[26]（Thinking Fast and Slow）中用二进制的方式将大脑描述出来。在大部分走路、聊天以及东张西望（也就是多任务处理）的时候，大脑用卡尼曼称作“第一系统”的方式工作——一种快速的、自动的、毫不费力的方式。

对比之下，当我们在努力思考一个特定的问题（单任务处理）时，大脑用一种更慢的、深思熟虑且充满了逻辑性的“第二系统”工作。为了计算出37x13的值，我们需要停止走路、说话，闭上我们的眼睛，甚至用手将耳朵捂住以专心于任务。在第二系统中，我们没有机会对多任务开展多线处理。

在我2015年与计算神经科学家迈克尔·奥谢伊（Michael O’Shea）合作的论文^[27]中，我们将第一系统阐释为一种将可用能量分布在大量活跃神经元中的模式，而第二系统是将能量集中于一小部分活跃神经元的模式。因此在第一系统中，每个活跃神经元的能量相比于第二系统更少，这也使得处在第一系统状态之下的大脑更易受噪声的影响。也就是说，当我们在进行多任务处理的时候，不论哪一个神经元的作业都会极受大脑中噪声的影响。

贝瑞关于清晰子—反清晰子之间互动的描述似乎提出了一种大脑模型，模型中充斥噪声的第一系统和充满确定性的第二系统协同作用。反清晰子是我们在第二系统状态下进行的逻辑分析，大部分时候，这能让我们抵抗第一系统状态下产生的疯狂想法。

但是有些时候在第一系统状态下，总会冒出一个并没有那么疯狂的想法。

这令人想起我们的模拟退火分析（图1）的工作原理。最初，我们可能会发现许多“疯狂”的想法很有吸引力。但随着我们越来越接近最佳解决方案，接受新建议的标准将会变得更加严格和挑剔。最后，第二系统的反清晰子几乎湮灭了第一系统清醒子可以提出的所有东西——但令威尔士十分欣慰的是，并不是所有的东西都被湮灭了。

创造力的关键

如果创造力的关键的确在于随机性和确定性思考的协同作用，这意味着什么？

一方面，如果你没有必要的背景信息，那你的分析能力将会被完全耗尽。这就是为什么威尔士说在领悟之前，你必须完全沉浸于你的问题当中。除非你一开始对于量子力学就有良好的理解，你不可能拥有可以革新量子物理学的惊人想法。

但是你仍然需要每天给自己留足够的时间去什么也都不做，去放松，去让心灵遨游。我告诉我的研究生，如果他们想要在工作中变得成功，他们不应该在醒时的每时每刻都呆在他们的电脑或桌面之前。把休息的时间替换成社交媒体时间大概也不会有任何帮助，因为你不是真的在进行多任务处理——你在社交媒体上的每一刻的注意力都集中在一个特别的问题之上。

然而去散步或者骑车或者画画小屋大概会有帮助。就个人经验而言，我发现开车是一项对于产生新想法很有用处的活动，只要你在开车的时候不开音箱。

以上的想法表明，在做出艰难的决定时，列出所有利弊后，暂时不积极去思考问题可能会对解决问题有所帮助。我认为这解释了多年前我如何最终决定改变我研究方向的的过程——而当时我并不知道。

因为大脑的第一系统节能高效，我们用它去做我们生活中的大部分决策（有些人说一生要做35000那么多个决定）——大部分并不重要，就像决定是否在走去店铺的过程中需要继续把一条腿走在另一条的前面之类。（如果使用第二系统的话，我可以选择在走完每一步之后停一下，调查周边以保证捕食者不会跳出来袭击我，然后在这样的基础上决定是否要继续走下一步。）

创造性思维的关键？

然而，第一系统的思维有时将会把我们导向不好的决策，因为我们默认使用这种低能量模式，而在我们应当用上第二系统的时候并不去使用它。有多少次我们在事后对自己说过：“为什么我没有再多考虑考虑这个选择？”

当然，如果我们在每一次做选择的时候都使用第二系统，那么我们就不会有足够的时间和能量去做其他所有生活中需要做的重要事情了（如果那样仔细斟酌的话，店铺也许在每次我们到达之前就会关掉）。

从这个角度来看，我们不应该认为对不重要的问题给出错误答案是非理性的的证明。卡尼曼引用了一个事实来说明非理性^[28]：50%的麻省理工、哈佛和普林斯顿学生都对一个简单问题——一根球棒和球需要花费1.10美元；每根球棒比球贵1美元；每个球需要花费多少钱——给出了错误答案。如果你加以思考，正确答案是5美分^[29]。然而第一系统叫嚣着“答案是10美分！”。

如果我们以死亡的痛苦为赌注来回答该问题，我们会希望用足够的思考、给出正确的答案。但如果我们在匿名课后测试里被问到这个问题，也就是当我们有更重要的事情要花时间和精力去做时，那么我倾向于认为给出正确答案是不合理的。

如果我们可以用20000000瓦的能量来运行我们大脑，我们可以花费其中的一部分来解决不重要的问题。但是我们只有20瓦，所以需要小心地使用能量。也许那给出错误答案的50%的麻省理工、哈佛和普林斯顿学生其实是真正聪明的学生。

就像一个充满噪声的气象模型可以生产出许多没有噪声的模型所不能产生的天气类型，一个充满噪声的大脑可以生产出许多没有噪声的大脑所不能产生的点子。这些天气类型可以是龙卷风一样的例外，同样，这些点子在最后或许可以帮助你获得诺贝尔奖。

所以，如果你想增加取得杰出成就的几率，我会建议你在乡村里走走，看看天上的云，听听鸟的吱吱叫声，然后想想你晚饭打算吃些什么。

所以，计算机可以是创造性的吗？

计算机会有一天变得如莎士比亚、巴赫或爱因斯坦一样有创造性吗？他们会像我们一样理解身边的世界吗？斯蒂芬·霍金曾经给出过一条著名的警告：人工智能早有一天会接管并取代人类^[30]。

然而，“计算机永远无法像我们一样理解”这一观点的最著名倡导者恰恰是霍金的老同事罗杰·彭罗斯。在提出他的主张时，彭罗斯援引了数学中被称为哥德尔定理的重要“元”定理^[31]。该定理正表明，无法通过确定性算法证明的数学真理是存在的。

Lex Fridman： Consciousness is Not a Computation (Roger Penrose) | AI Podcast Clips

我们可以通过一个简单的方法阐释哥德尔定理。假设我们需要列出从古希腊时代起被证明过的最重要的数学定理。首先在列表里的会是欧几里得证明^[32]，其通过一个极具创造性的步骤（假设质数的数量是有限的，将它们相乘并加一）以证明有无限个质数。数学家会将那创造性的步骤称为“技巧”（“trick”）——对于巧妙而简洁的数学建构的称呼。

然而这个技巧是否可以用于证明列表中其他的重要定理呢？例如，毕达哥拉斯对于两个数的平方根不能被表示为两个整数之间的比例（或有理数）的证明^[33]能不能用上以上技巧呢？明显不能。对于这个定理，我们需要其他的技巧。

事实上，当你往下浏览列表，你会发现一般来说每一个新的定理都需要运用一个新的技巧进行证明。数学家需要用于证明定理的技巧数量似乎永无尽头。单只是把一堆技巧载入计算机并不一定会使计算机具有创造性。

那这是否意味着数学家可以安心，不再担心被计算机取代？也许不一定。

我曾经论证我们需要电脑变得富有随机性而不是完全只有确定性的“比特可再生”^[34]（bit-reproducible）机器。而噪声，尤其是来自量子力学过程的噪声，会打破哥德尔定理的假设：因为一台有噪音的计算机不是通常意义上的算法机器。

这是否暗示了一台随机的电脑会变的更具有创造性？通用计算机的先驱阿兰·图灵相信这是可能的，他认为“如果一台机器是完美的，那它不可能是智能的。”^[35]这就像是在说，如果我们希望一台机器变得智能，那它最好有犯错的能力。

其他人也许会认为，没有证据表明单往机器加入噪声就会让这台没有智能的机器变得智能，我同意这个想法。往气象模型加入噪声并不会自动让气象模型变得智能。

不过，随机性与确定性之前的相互作用——一种可以从随机想法的谷壳中挑选小麦的过程——还没有在计算机代码中被开发出来。也许我们可以发明一种新的人工智能模型，然后通过训练人工智能使用清晰子-反清晰子模型解决简单的数学定理；过程中，人工智能需要做出猜想并判断其中是否存在有价值的想法。

为了让人工智能达成目的，我们还需训练它们集中于“有意义的随机猜想”。（如果人工智能在乱猜，那这个过程将永无止尽——就像是等待一群猴子去打出《哈姆雷特》的前几行一样。）

比如说，在欧几里得关于存在无穷多质数的证明中，我们能否以这样一种方式训练人工智能系统，使它们更易产生“将假定的有限数量的质数相乘并加一”这样的随机想法，而非“将假定的有限数量的质数加在一起并减六”这样无用的随机想法？如果一个特定的猜想被证明特别有用，我们是否可以通过训练人工智能系统，让它在这一猜想的基础上做出下一个猜想？

如果我们能找到某种方法来做到这一点，建模可以在所有相关研究领域被开辟出全新的水平。在这样做的过程中，我们可能会达到所谓机器取代人类的“奇点”^[36]。但只有当人工智能开发人员像数千年前的大脑一样完全接受噪声的建设性作用时，我们才能见证这一天的到来。

现在，我感觉我需要在乡村散散步，让乡村的风吹走一些发霉的旧蜘蛛网——或许也为一些令人兴奋的新蜘蛛网播下种子。

参考文献

1.http://www.damtp.cam.ac.uk/research/gr/about-us

2.https://www.metoffice.gov.uk/

3.https://en.wikipedia.org/wiki/Buridan%27s_ass

4.https://www.ecmwf.int/en/about/media-centre/news/2022/symposium-prof-tim-palmer-take-place-5-and-6-december

5.https://www.pcmag.com/encyclopedia/term/transistor#:%7E:text=In%20the%20digital%20world%2C%20a，or%20even%20billions%20of%20transistors.

6.https://www.investopedia.com/terms/m/mooreslaw.asp

7.https://spectrum.ieee.org/smallest-transistor-one-carbon-atom

8.https://en.wikipedia.org/wiki/Nonlinear_system

9.https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_weather_prediction

10.https://en.wikipedia.org/wiki/Deterministic_algorithm

11.https://en.wikipedia.org/wiki/Simulated_annealing

12.https://en.wikipedia.org/wiki/Annealing_(materials_science)

13.https://optimization.mccormick.northwestern.edu/index.php/Traveling_salesman_problems

14.https://optimization.mccormick.northwestern.edu/index.php/File:48StatesTSP.png

15.https://www.metoffice.gov.uk/weather/climate/science/climate-modelling

16.https://www.nature.com/articles/s42254-019-0062-2

17.https://journals.ametsoc.org/view/journals/clim/34/11/JCLI-D-20-0507.1.xml

18.https://www.nature.com/articles/526032a

19.https://pubmed.ncbi.nlm.nih.gov/25142940/

20.https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2631351/

21.https://www.mpg.de/15409874/axons-cmtm6

22.https://simonsingh.net/books/fermats-last-theorem/the-whole-story/

23.https://sciworthy.com/the-connection-between-black-holes-and-einsteins-theory-of-relativity/#:%7E:text=Penrose%20had%20a%20moment%20of，be%20possible%20in%20all%20systems.

24.https://www.huffpost.com/entry/imagination-and-the-imagi_b_8178538

25.https://michaelberryphysics.files.wordpress.com/2013/06/u8.pdf

26.https://en.wikipedia.org/wiki/Thinking，_Fast_and_Slow

27.https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/fncom.2015.00124/full

28.https://www.semanticscholar.org/paper/Representativeness-revisited%3A-Attribute-in-Kahneman-Frederick/4069615a36c33e61ca309b8ceaeb628a10d441b5?p2df

29.https://www.hitc.com/en-gb/2020/05/31/baseball-bat-and-ball-cost-1-10-riddle-answer-explained/

30.https://www.bbc.co.uk/news/technology-30290540

31.https://www.theguardian.com/science/2022/jan/10/can-you-solve-it-godels-incompleteness-theorem#:%7E:text=In%201931%2C%20the%20Austrian%20logician，statements%20that%20cannot%20be%20proved.

32.https://www-users.cs.york.ac.uk/susan/cyc/p/primeprf.htm#:%7E:text=Assume%20there%20are%20a%20finite，any%20of%20the%20p%20i%20.

33.https://medium.com/not-zero/two-proofs-of-the-irrationality-of-the-square-root-of-2-fca5c38e44c

34.https://en.wikipedia.org/wiki/Reproducible_builds

35.https://plato.stanford.edu/entries/turing/#:%7E:text=In%20other%20words%20then%2C%20if，makes%20no%20pretence%20at%20infallibility.

36.https://en.wikipedia.org/wiki/Technological_singularity

原文：https://theconversation.com/noise-in-the-brain-enables-us-to-make-extraordinary-leaps-of-imagination-it-could-transform-the-power-of-computers-too-192367

本文来自微信公众号：神经现实 （ID：neureality），作者：Tim Palmer（牛津大学皇家学会研究教授），译者：Kingsley，校对、编辑：M.W.