这帮美国人说π=3.2，还把它写进了法案

本文来自微信公众号：果壳 （ID：Guokr42），作者：Crystal、海狸，编辑：大琳砸，头图来自：视觉中国

π绝对是数学界的顶流了。有人给它过节（就是今天啦），有人为它写歌，1897年，美国印第安纳州的一项法案还曾试图更改它的值，一度成为坊间笑谈。

事情的起因是这样的，印第安纳州有个医生叫爱德华·古德温（Edward J. Goodwin），这人喜欢在业余时间研究数学。古德温的数学之路起点颇高，瞄准的是古希腊三大难题之一的“化圆为方”，他苦心钻研十几载终于搞出了一个理论，但这个理论漏洞百出，还有个很大的副作用：在这套理论下算出来的 π=3.2。

用今天的话说，这就是重新定义了圆周率 图片来自：pinterest

古德温对自己的理论信心爆棚，他通过一位参议员提交了议案，表示发现了一项新的数学原理，为了支持教育事业，我们要立法承认它的真实性，以后这个数学原理就能在本州免费使用啦。这就是大名鼎鼎的246号法案，又称“圆周率法案（Indiana Pi Bill）” ，法案中愤怒地谴责了当时使用的π值“在实际应用中存在漏洞且具有误导性”，强调了3.2的正统地位。

明眼人都能看出这事有多不靠谱，但邪门的是，当时这项法案以67:0的巨大优势获得众议院一致投票通过，眼看就要酿成大祸。就在危急时刻，来自普渡大学的一位教授对该州参议员们进行了紧急科普，才没有让这项法案通过。

这个故事的讽刺之处在于，早在1882年，数学家就已经证明，“化圆为方”这个问题是无法用尺规完成的。而对于圆周率，一千多年以前就已经有更为精确的估计值了。

约率与密率

据《隋书・历律志》记载，我国古代的大数学家祖冲之很早就计算出圆周率后第7位，领先世界一千多年，这在算盘都没有的当时是很难想象的。

祖冲之还求得了π的约率（π≈22/7≈3.14）和密率（π≈355/113≈3.1415927）。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲人不知道是祖冲之先得出密率的，将密率称为安托尼斯率。

位于深圳人才公园的π桥，请欣赏桥上的谐音梗 | 作者供图

对于π的探索没有止步于此，古今中外的数学家依然充满热忱，前赴后继地把它求出了新意，求出了花样。

扔针的人

蒲丰（Buffon）是一位法国数学家。1777年的一天，蒲丰邀请朋友们到家里做客，他在白纸上画了一条条等距离的平行线，然后请朋友们把一些长度只有平行线间距一半的针随意扔在纸上。结果，在2122次投掷中，针与平行线相交了704次。蒲丰算出2212÷704≈3.142，并宣布这就是圆周率π的近似值，而且投的次数越多越精确。这就是著名的蒲丰投针问题，是一种通过概率方法来解决复杂计算的妙招。

蒲丰投针

证明这个问题也很简单，只要具备简单的三角函数和积分知识，就可以算出，忽略针的宽度，针与平行线相交的概率p为：

其中，h是平行线间距，l是针长。当针长是平行线间距一半时，概率p的倒数恰好就是圆周率的值。

但是，真如蒲丰所说，投的次数越多越精确，人类为什么要穷经皓首地尝试用各种方法计算圆周率呢？尤其是有了大型计算机之后，直接模拟扔针不就好了吗。先不说计算机只能产生伪随机数的问题，如果我们真的动手开始扔针操作，很可能会先被精度问题虐到哭。

提高精度的战役

如果投针的人足够幸运的话，投针次数每增加10倍，结果的精度就可以提高一位。例如扔100次，刚好有31次压线，扔1000次，刚好有314次压线……那么，他要扔出31415927次压线，就需要扔100000000次了，每秒扔一次的话需要3.17年。这看起来还是可以接受的。

其实，历史上愿意去尝试这个问题的大有人在，然而从他们的计算结果中（下表）可以看到，结果并不精确。即使投掷了5000次，连小数点后两位都算不准，这是为什么呢？

历史上的投针试验| csdn.net

原因就在于，他们不够“幸运”，试验结果精度的提高，除了与试验次数有关，还要受到方差的影响。方差越大，要提高精度，就需要付出更大的工作量。经典的蒲丰投针问题中，投针次数每增加约100倍，结果的精度才提高1位（见下表）。那么如果他要精度达到小数点后7位，至少需要投掷10^14次，这大概需要三百多万年了，就是愚公来了也算不出啊。

计算机模拟的投针试验 | 作者供图

于是数学家考虑，我增加一个维度，是否可以提高结果的精度呢？改进型的投针问题出现了，如果把地上的平行线改成方格，那么结果还和圆周率有关吗？

改进的投针问题

好消息是：公式仍与圆周率有关，而且方差也减小了，  针与平行线相交的概率p变为：

坏消息是：精度只提高了大约不到一位。要算出密率，保守估计也要一百万年。

“蒙”的哲学

也许有人认为，我们可以把格子画得更多，用更多的针同时投下去，岂不是提高了投针的效率。但有位大牛却说：“格子多点可以，但投针太麻烦了。”他沿着格子的轮廓画了一个圆。细心的读者可以发现，这时如果下起雨来，那么打在圆内方格的雨点数量，和打在圆外接正方形的雨点数量之比，就是圆和外接正方形的面积比（π/4）。在一个边长100米的正方形里，画出边长一厘米的方格，假设每平方米每秒落下1000滴雨，那么大约下四个多月的雨咱们就能看到结果了。

雨滴法算圆周率

事实上，这个数雨滴的方法还有个响亮的名字，叫做蒙特卡洛法（Monte Carlo method）。这个方法可不是叫蒙特卡洛的人提出的，而是著名数学家冯·诺伊曼用赌城蒙特卡洛命名的，所以这个方法的精髓就是蒙（随机数）。蒙特卡洛法可以通过重复简单步骤的方法，化整为零来计算复杂的问题。而我们之前提到的蒲丰投针问题，就被认为是蒙特卡洛法的起源之一。

用蒙特卡洛法计算圆周率 | Think Twice

有人也许会问，这不还是需要下几个月的雨才能算个圆周率吗？这么不靠谱的方法，到底有什么用呢？

其实，很多科学和工程上的问题，都是利用这一方法解决的。对于精度要求不高，“雨滴”又量大易得时，蒙特卡洛法的优势就体现出来了。例如卢瑟福通过著名的α粒子散射实验揭示了原子的复杂结构，就是用到了这一方法的思想。

 α粒子散射实验原理

现在的人们都知道原子是由居于中心的原子核和电子组成的，其中原子核只占原子极小的体积。但即使利用最先进的显微镜，也看不到原子核。那么又是如何知道这一结构的呢？卢瑟福正是巧妙地利用了蒙特卡洛法的思想，不过他把雨滴换成了小得多的α粒子。他发现，射向金原子的α粒子，只有八千分之一发生了大角度偏转，似乎打中了什么东西。通过对偏转角、电荷和质量的计算，他甚至得出了原子核的尺寸，与现代公认的尺寸比较接近。不通过直接观测，就测定出原子核尺寸，确实是令人赞叹的。

 α粒子散射实验示意图 |  Don't Memorise 

很多科研和工程上看似复杂的问题，其实换个思路，化整为零就可以实现。概率虽然有难以捉摸的脾气，但是在大数据面前，往往会缴械投降。不论是蒲丰投针，还是复杂图形面积的蒙特卡洛法计算，都是对概率最好的应用。

参考文献

[1]中国古算解趣_郁祖权

[2]Buffon投针中针长对模拟精度的影响_王合玲

[3]改进的蒲丰投针问题探究_代永嘉

[4]维基百科-布丰投针问题

[5]维基百科-蒙特卡罗方法

本文来自微信公众号：果壳 （ID：Guokr42），作者：Crystal、海狸，编辑：大琳砸