千禧年七大难题之一的黎曼猜想，有了新突破

数学“猜想界皇冠”黎曼猜想，刚刚取得全新突破。

成果来自Larry Guth（拉里·古斯）和James Maynard（詹姆斯·梅纳德）。

后者正是那位初出茅庐就让陶哲轩赞不绝口，因优化张益唐“孪生素数猜想”结果一战成名，并于2022年斩获菲尔兹奖的天才数学家。

陶哲轩第一时间在社交媒体上转发了他们的新论文：

古斯和梅纳德在黎曼猜想方面取得了显著突破（尽管距离完全解决这个猜想还很远）。

他们对阿尔伯特·英厄姆在1940年给出的黎曼ζ函数零点的界进行了首次实质性改进（更广义地说，是控制各种狄利克雷级数的大值）。

实质性改进零点密度估计

论文标题是《New large value estimates for Dirichlet polynomials》（狄利克雷多项式的新大值估计）。

简单来说，古斯和梅纳德的新成果，就是证明了狄利克雷多项式取大值的频率的新界限。

狄利克雷级数的大值问题，在解析数论中有广泛而重要的应用。比如，黎曼ζ函数就可以表示为一个狄利克雷级数，其非平凡零点的分布，与ζ(s)在临界线附近的大值密切相关。

根据陶哲轩的科普，令N(σ，T)表示实部至少为σ、虚部至多为T的黎曼ζ函数的零点数量。黎曼猜想告诉我们，对于任意σ>1/2，N(σ，T)都是0。

黎曼猜想目前还没办法无条件地证明，次优的选择是证明零点密度估计，也就是对N(σ，T)给出一个非平凡上界。这里σ=3/4是一个关键值。

1940年，英厄姆得到了一个界，即：

此后的八十年中，数学界一直未能对这个界限有实质性的改进，大部分工作只是对o(1)误差动动脑筋。

这就限制住了数学家们对解析数论的探索，比如，受限于英厄姆界，为了在（x，x+x^θ）形式的几乎所有短区间内得到一个好的素数定理，长期以来数学家们只能处理θ＞1/6的情况。

现在，古斯和梅纳德成功将3/5=0.6提高到了13/25=0.52。还是拿上面这个例子来说，θ的范围就可以从θ＞1/6=0.166提高到θ＞2/15=0.133（黎曼猜想下θ＞0）。

论文的论证主要基于傅里叶分析。陶哲轩指出，前几个步骤属于标准步骤，许多数学家包括陶哲轩自己都能想到。

但这一次古斯和梅纳德做了一些“巧妙且意想不到”的选择，包括：

• 将一个关键的相位矩阵 n^(it)=e^(itlogn) 提高到了6次方。

  
  

• 没有使用平稳相位方法来简化傅里叶积分。

他们根据狄利克雷级数的大值点位置，将问题分为加性能量E(W)小、中、大三种情况，并通过参数的变化来处理每种不同情况。

其中，狄利克雷级数中隐含的相位函数tlogn的精确形式变得非常重要。

这是一种出人意料的方式，利用了解析数论中出现的指数和的特殊性质，而不同于人们在调和分析中可能遇到的更一般的指数和。

菲尔兹奖和数学新视野奖得主们

詹姆斯·梅纳德的名字，关心数论的朋友们想来都不陌生。

作为当今数学界最闪耀的明星之一，他一路斩获拉马努金奖、柯尔奖，并在2022年获得数学界最高奖菲尔兹奖，和2023科学突破奖下的数学新视野奖。

有意思的是，梅纳德的成名之路与华裔数学家们的名字紧密关联在一起。

26岁时，他提出了一个完全独立的、比张益唐更强大的“孪生素数猜想”结果，因此声名鹊起。

而在此过程中，他又与陶哲轩发生了一段“惜才”美谈：梅纳德发表成果之前，得知大牛陶哲轩也在同一问题上得出了基本相同的结果。但陶哲轩在看过他的证明方法之后，认为其方法比自己的更简洁。

出于惜才之心，陶哲轩主动放弃了和梅纳德联名发表这项研究的机会，以免自己的名气掩盖年轻数学家的成就。

梅纳德的战绩还包括，和Dimitris Koukoulopoulos合作攻克80年数学难题Duffin-Schaeffer猜想，和Thomas Bloom合作改进最著名的无平方差集界限等等。

目前，梅纳德在牛津大学任教授。

拉里·古斯是MIT的克劳德·香农数学教授，同样是一位数学新视野奖得主，他还获得过塞勒姆奖、克莱研究奖等奖项。

他在几何学、调和分析、拓扑学和组合学领域造诣颇深。2021年当选为美国国家科学院院士。

有点遗憾的是，拉里·古斯已经47岁，对于菲尔兹奖而言已经“超龄”（菲尔兹奖只颁发给40岁以下数学家）。

One More Thing

古斯和梅纳德的新论文一经发表，已经引发了不少关注。

网友们的热烈讨论中，同样有不少信息值得参考。

有网友po出了ζ函数的可视化网页，可以帮助理解新论文的内容。

论文地址：https://arxiv.org/abs/2405.20552

参考链接：

[1]https://mathstodon.xyz/@tao/112557249982780815

[2]https://news.ycombinator.com/item?id=40571995

本文来自微信公众号：量子位（ID：QbitAI），作者：鱼羊