上大学也没学明白的傅立叶变换，如何讲解得让小学生都能懂？

Photo by Jason Rosewell on Unsplash，本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：吴进远（美国费米国家加速器实验室）

晚自习之后，我和珍旭班长离开图书馆，一起走在校园里。见我不做声，珍旭班长问：“你前一阵写了不少音乐的文章吧？”

“是的。可是读者们说，讲音乐不能不把傅立叶变换讲清楚。”

“对呀。”

“我其实是写了傅立叶变换的，但读者们认为我写得太晦涩，专有术语太多。”我说：“可是傅立叶变换是大学的课程，没法讲得简单呀。”

“要想把傅立叶变换讲透彻的确需要大学知识。”珍旭班长说：“但你可以先用一些简单实际的例子，做个初步的说明呀。”

见我一时说不出话，珍旭班长示意我在路边长椅坐下，在手机上划了一阵：“给你看看我小时候，爷爷给我讲睡前故事，是怎么讲傅立叶变换的吧。”说着在我身旁坐下。

我顿时觉得心跳加速，脑子里有一段时间一片空白。隐约记得珍旭班长介绍说，这些睡前故事的视频本来是用老式8毫米录像带录下来的，几个月前爷爷奶奶刚把它们转换成数字的视频文件。

一、音色与波形

珍旭班长点开一个视频，屏幕上出现一个毛绒动物熊猫。她介绍说，这是我们家庭成员中最小的一位，叫熊猫晶晶。

“我是熊猫，”小珍旭粗着嗓子扮演熊猫晶晶。

“我吃竹子，”视频中熊猫晶晶仰头摇晃，好像非常骄傲，“我要唱《五指歌》。”

小珍旭稚嫩的童音和爷爷浑厚的男中音一齐唱响：

“一二三四五，上山打老虎。（老虎！老虎！老虎！老虎！——熊猫晶晶惊恐喊道。）”

“老虎打不着（老虎！老虎！老虎！老虎！），看见小松鼠。”

“松鼠有几个，让我数一数。数来又数去，一二三四五。”

见我一头雾水懵在那里，珍旭班长解释道：“熊猫的天敌是各种食肉猛兽，因此熊猫晶晶听到老虎会害怕。”

小珍旭问道：“爷爷，我们唱一样的《五指歌》，为什么我们的声音不同呀？”

“这倒是一个好问题。”爷爷说：“不过，你首先要解释清楚，你说的声音不同是什么意思。”

小珍旭从床头柜抽屉里拿出她的儿童口琴，吹了一个音：“咪——”

“咪——”她自己按照这个音高唱出这个音符，然后说：“爷爷唱。”

“咪——”

“熊猫晶晶，”小珍旭捧起毛绒熊猫：“我和爷爷唱的音符一样吗？”

“一样一样。”

“可以听出两个人的声音不同吗？”

“可以可以。”

“哈哈哈，”爷爷笑道：“晶晶说得对，我们两人唱的音符是一样的。都是C调中的咪，也就是E，频率为 659.3 赫兹。”

“既然频率一样，为什么我们的声音仍然可以听出差别呢？”

“这是因为我们的音色不同。”

“什么叫音色？”

“音色和声音的波形有关，”爷爷解释道：“两个音色不同的声音，它们的波形是不同的。”

“什么是波形？”

“我们听到的声音是一种波动，它是振动的物体推动周围空气产生的。振动的物体让周围的空气一会儿压缩，一会儿舒张，使得空气的压强出现微小的强弱变化，于是这种压强的强弱变化就会传播开来，变成声波。”

“当声波来到我们的耳朵或者话筒时，耳朵里的鼓膜或者话筒里的膜片就被空气有时推，有时拉。如果把这种推拉运动放大，带动一根针，让它在一张匀速运动的纸上刻画，就可以画出一个波浪一样的图形。刚才我们两人唱的音符是E，频率为 659 赫兹，也就是说，这种推拉运动每秒钟重复 659 个周期。但我们可以听出两个人的音色不同，画出的波形也不同。除了人的声音，不同的乐器也有不同的音色。”

“那么，”小珍旭问：“我的口琴声音波形是什么样的呢？”

爷爷点开电脑上一个软件，小珍旭吹响她的口琴，她吹的是音符E，电脑记录下一个波形。（其实，现在我们在手机的应用商店里，也可以找到显示声音波形的软件。）

“我们再看看别的乐器波形是什么样的。”爷爷拿来一把小提琴，拉响一个音符，也是E。电脑记录下另一个波形。

“呀，口琴和小提琴声音的波形真的很不一样。”小珍旭说：“可是，这些波形里，有那么多上上下下，看着好复杂呀。”

“确实很复杂。”爷爷在电脑上打开另一个软件，说：“不过，复杂毛糙的波形可以看成是一些简单光滑的波形叠加起来的，你看。”

“这里有好几个波形，看着很光滑。”小珍旭说：“最上面那个波动得最慢，往下一个比一个快。”

“对的，这些波形叫正弦波，横坐标是时间，单位是毫秒。最上面那个正弦波的频率是659赫兹，第二到第五个波形，它们的频率分别是659赫兹的2、3、4、5倍。这些整数倍频的正弦波，在音乐上叫做泛音。”

“我会算。”小珍旭抢着说：“659赫兹的2倍是1318赫兹，3倍是1977，4倍是2636，5倍是？5倍是3295。”

“不错，算得挺快。”爷爷表扬道，然后接着解释：“这样一些正弦波，按照一定的比例叠加起来，就可以得到最下面那个波形。”

“什么叫叠加？”

“你在每一个时间点上画一条竖线，每一个波形在这个时刻都有一个高度，把这些高度像叠罗汉那样加起来，就叫叠加。”

“真有趣，本来几个光滑的正弦波，叠加起来就变得像锯齿一样了。”

“你再看看这个。”爷爷在电脑上改了几个数。

“咦，叠加出来的波形变得像方方的馒头了。您在电脑上改了什么呀？”

“这些正弦波还是原来的频率，我只不过改了一下这些正弦波叠加时振幅的比例。你比较一下两个图，就可以看出有的频率成分变大了，而有的变小了。”

“这就是说，”小珍旭若有所思，“不同频率的正弦波，叠加时的比例不同，形成的波形也不同。也就是说，一个乐器的音色，是这些频率成分，或者说泛音的比例决定的？”

“不错，总结得很好。把一个复杂的波形，分解成为许多正弦波的过程，叫做傅立叶变换。”

“噢，我明白了。我们可以把很多正弦波加起来，构成一个复杂的波形。反过来，也可以把复杂的波形，拆开成一个个正弦波。”小珍旭的确天资聪颖。“可是，怎么才能拆开呢？”

“明天还要上学，且听下回分解。”爷爷逗她。

小珍旭显然不想睡，于是像演木偶戏那样举起熊猫晶晶：“爷爷，晶晶不懂。请爷爷，用熊猫和竹子作为例子，给晶晶再讲一讲。”

“一只熊猫，拿着一根竹子，一边走，一边在地上画。如果只有它的腿在左右摇晃，那么在地上画出来的波形就比较简单光滑。可是今天熊猫吃饱了嫩竹笋很高兴，身子也在摇晃，走一步摇晃两次。胳膊也摇晃，走一步摇晃三次。手也摇晃，走一步摇晃四次。这样一来，就会在地上画出一个很复杂的波形。晶晶懂了吗？”

“懂了懂了。”

“好了。现在熊猫晶晶回到床头柜上，小珍旭盖好被子，睡觉。”

二、通过共振理解傅立叶分析

第二天晚自习之后，我和珍旭班长在校园长椅上接着看视频。我想看看爷爷怎样讲解把复杂波形分拆为正弦波，当然，我更享受和女神在一起的美好时光。

“我是熊猫，我吃竹子，我要唱《五指歌》。”

“一二三四五，上山打老虎。（老虎！老虎！老虎！老虎！）……”

好嘛，她们家睡前故事还挺讲究程式化的。后来珍旭班长告诉我，她的节奏感还有和声知识，都是通过唱《五指歌》学的。

视频里，爷爷开始讲故事：“从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚。他房间里有个磬，经常自己发出声音，有时在白天，有时在黑夜。老和尚以为有妖怪，吓得生了病。”

“这是个唐朝的故事，我知道，叫《曹绍夔 (kuí) 捉妖》。”小珍旭抢着说：“后来，老和尚的朋友，洛阳一个管音乐的官叫曹绍夔的来看望他。正好赶上庙里敲钟，磬也跟着响了起来。于是曹绍夔大笑，让和尚第二天准备好酒好菜，他来捉妖。第二天，曹绍夔来了，酒足饭饱之后，拿出一把锉刀，在磬上锉了几下。以后磬就再也不响了。”

“这是为什么呢？”

“这是因为钟声的频率和磬的共振频率一样，敲钟的时候，声波引起磬共振。曹绍夔在磬上锉了几下，把它的共振频率改变了，就不会再共振了。”

“讲得对。”爷爷说：“现在我们把这个故事拓展一下，设想老和尚房间里放了好多个磬，它们的共振频率从低到高各不相同。如果你去了，随便唱出一个音，情况会怎么样呢？”

“我觉得，那么多的磬，不管我唱什么音，总会有一个的共振频率和我唱出声音的频率接近，所以应该会引起共振。”

“只会引起一个磬共振吗？”

“这？”小珍旭苦苦思索。

“我们昨天讲了，当我们唱一个音符时，比如唱E，里面除了 659 赫兹的频率成分，还有哪些？”

“还有 659 赫兹的2、3、4、5 等倍频的正弦波，或者叫泛音。它们的频率是 1318、1977、2636、3295 赫兹。”小珍旭豁然开朗：“也就是说，我唱出一个音，会引起很多个磬一起共振，只要它们的共振频率与这些泛音频率相近。”

“这样一来，我们就知道你唱的声音里有哪些频率成分。而且，根据这些共振的相对振幅，我们就可以知道这些泛音之间振幅的比例。这其实就可以看成是傅立叶分析。”

“傅立叶分析？”

“傅立叶是个法国的数学家，和肖邦差不多同时代，比肖邦年龄大一些。”

“可是，”小珍旭问：“要作傅立叶分析，到哪里去找那么多磬呢？”

“不一定非得用磬，用弦也可以呀。钢琴里不是有很多弦吗？”爷爷说：“我们可以到客厅用钢琴做个实验。”

小珍旭噌的一下，穿着睡衣睡裤从被窝里跳了出来。

“披上衣服。”拍摄录像的奶奶在画面外喊道。

爷爷和小珍旭趴在地板上，轻轻地取下钢琴底部的盖板，按下钢琴的右踏板，使得钢琴的所有琴弦可以自由振动。

“咦，钢琴里有声音，好像我们说话的回声一样。”

“你试试对着钢琴喊一声。”

“啊——”小珍旭喊道。

钢琴跟着发出微弱的声音，听起来和小珍旭的声音非常像。

爷孙两个对着钢琴喊话、唱歌、学牛叫、学狼叫，钢琴都会随之发出相应的声音。

哈哈，钢琴华丽变身为傅立叶分析仪，不知道大钢琴家肖邦当年有没有试过。他经常在巴黎的沙龙里给那些绅士贵妇们演奏，听众中很可能有过傅立叶。如果他在演奏时，顺便表演一下这个“魔术”，也许会减少一点演奏的辛苦吧。我不知怎么，脑回路里搭出这么一个念头。

其实这个实验我也做过，我在手机上找到一个图给珍旭班长看：“用这个图，可以把整个实验过程看得更清楚。”

这个图是使用手机的APP Spectrum View 来记录的谱图。横坐标为时间，纵坐标为频率，每个频率成分的强度用颜色显示。

在图中，开始有0.8秒左右我们对钢琴喊出一个持续稳定的声音，显然，这段时间内声音的强度比较大。这个声音的基频大约是250 Hz左右，不过它的基频成分强度不是很大，而是以2倍频与3倍频为主。此外还存在很多高倍频的成分。

喊声停止后，我们可以看出钢琴上对应于1到5倍频的琴弦被显著地激励起来，并持续振荡。

实际上，在喊声停止后约1秒左右的时间内，钢琴发出的声音与原来的人声非常像，而过了一会，虽然钢琴还有声音，但已经与原来的声音不像了。这是由于开始时，钢琴能够按照原来声音的比例发出4倍与5倍频成分。随着时间推移，这些高频成分衰减很快，等到只剩下低频成分时，声音的相似度就会变差。从图中我们可以看出4倍与5倍频成分衰减得相当快。

三、相位与音色之谜

“你们在看什么呐？”泉余室友又一次毫无征兆地出现了。

“我们在学习儿童睡前故事版的傅立叶变换。”

“正好，我有个青年失眠烧脑版的问题。”泉余室友说着，从口袋里掏出一叠皱皱巴巴的纸：“你们帮我看看。”

“一个周期函数f(t)可以展开成为傅立叶级数，写出来是这个样子。你们注意到了吧，每个频率成分包含有两个系数。”

“是啊，包含a和b，它们分别是余弦函数和正弦函数的系数。通过这两个系数，我们可以算出每个频率分量的振幅和相位。”

“可是，我们讨论频谱时，很多时候比较关注振幅，很少注意相位。”泉余室友说：“手机上的傅立叶分析软件也经常是只显示强度分布，不显示相位关系。这是为什么呢？”

“我觉得，原因之一是在很多实际应用中，频率分量的强度比较重要，而相位相对不很重要。比如我们的耳朵辨别音色时，只能感知各个频率成分之间的相对强度比例，而不能感知它们之间的相位关系。” 珍旭班长边说边掀开笔记本电脑：“你们看。”

“我们用基频和几个整数倍频的正弦函数可以近似构成一个锯齿波。可是如果我们让二次倍频的振幅不变，只改变一下相位，把它从正弦函数变成余弦函数，最后组合出的波形就会改变。”

“对呀，倍频成分的相位变了，波形自然也会改变。”泉余室友说：“那么，我们的耳朵能听出来吗？”

“在这种情况下，”珍旭班长说：“各个频率成分的相对强度没有变，因此我们的耳朵听不出来，感觉还是原来的音色。”

“什么？”我大惑不解：“你说声音的波形变了，音色可以不变？视频里，爷爷怎么说的？”

“爷爷说的是：两个音色不同的声音，它们的波形是不同的。”珍旭班长解释：“但反过来却不一定。”

“珍旭同学，”泉余室友一本正经地开玩笑说：“我很尊重您，但我更尊重科学。我还是无法不经过思考，盲目相信您的说法。”

“要不要做个实验？”珍旭班长说。

“好啊。”我赞成：“一言不合做实验，这才是我们物理系学生的风格。”

“我负责生成声音信号。”珍旭班长拿起手机：“你们也都拿出手机，一个负责观察频谱，一个负责观察波形。”

珍旭班长点开手机软件，在上面输入了500、1000、1500、2000 和 2500 赫兹这几个频率值。

又点了一下屏幕，这样一个混合的声音播放了出来，听着好像是鹄鸬鸟的叫声。我们把手机凑到一起，我在频谱上看到几个尖峰，泉余室友手机上显示了一个奇形怪状的波形。

“现在我把 1000 赫兹改成 1000.2 赫兹。”珍旭班长说：“这样一来，等价于让1000 赫兹频率成分的相位缓慢变化。”

现在这个混合的声音听上去和刚才几乎没有不同，还是鹄鸬鸟的叫声，尽管其中一个频率成分的相对相位持续缓慢地变化着。从频谱上看，几个尖峰也没有变化。可是，泉余室友手机上的波形，却像小虫子一样不停地蠕动着。

“好了，现在敲黑板。”珍旭班长有些得意：“期末考试部分选择题如下。”

（1）音色不同则波形不同。答案：对

（2）波形不同则音色不同。答案：很多时候如此，但不一定。

“嗯，我现在认同这个理论了。”泉余室友说，可是仍然故意嘴硬：“但并不是因为听了您的讲解，而是因为看见了实验结果。”

“这有什么不同吗？”珍旭班长酣畅淋漓地发挥她的伶牙俐齿：“我不是也要按照前人实验的结果来讲吗？不过你这种科学态度应该表扬。对于科学问题，应该不迷信盲从他人，包括不迷信盲从班长、朋友乃至学术权威，坚持通过自己的思考理解科学结论。在这个问题上，我俩尊你为师。”

“你俩？”泉余室友掩口而笑。

本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：吴进远（美国费米国家加速器实验室）