本文来自微信公众号：中科院物理所（ID：cas-iop），作者：Marianne，翻译：C&C，审校：zhenni，题图来自：pixabay

质数是那些只能被自身和1整除的整数,比如前七个质数是2,3,5,7,11,13,17。

图示为埃拉托色尼筛选法，可以用于寻找质数。图源 SKopp, CC BY-SA 3.0. 

每一个正整数都可以借助一种特定的数学结构写成质数的乘积，例如 30 = 2×3×5 。质数就像是构成其他整数的基本积木，而这就是人们觉得它们有趣的原因。

质数是无穷多的，而这一点早已被古希腊数学家熟知，无论你在数轴上移动多远总有一个质数在你前面。下面是希腊最著名的数学家欧几里得的证明。

假设质数是有限的。我们可以用 p₁ , p₂ , p₃ 等来表示，直到最后一个质数 p_n 。现在定义某个数字 P：

比方说如果只有5个质数：p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p₄ = 7, p₅ = 11，那么存在一个数 P ：

如果 P 本身是质数（就像在我们的例子中一样），那么很明显它不可能是我们列表中的一个质数:因为它比所有的质数都大。

如果 P 不是质数，那么，就像其他自然数一样，它一定可以写成质数的乘积。我们选一个能被 P 整除的质数，用 p 表示。可以看出， p 不能是 p₁ 到 p_n 的任何质数，否则就会出现余数 1 ：

而 1 不能被任何其他的自然数整除。因此，集合 p₁,p₂,p₃…p_n 并不能包含我们假设的所有质数。这个矛盾意味着质数一定是无限多的。

几千年来，我们一直知道有无限多个质数（参见这里的证明），但并没有一个简单的公式告诉我们它们都是多少。强大的计算机算法使我们能够找到越来越大的质数，但却永远不可能把它们全部写下来。

质数定理告诉我们质数在其他整数中的分布。它试图回答这样一个问题：“给定一个正整数 n ，包括 n 在内的所有整数，有多少个是质数?” 

质数定理并没有精确地回答这个问题，而是给出了一个近似值。宽泛地说，对于比较大的整数，表达式：

这是一个很准确的质数估计，而且随着n的增大，这个估计也会变得更准确。其中 ln(n) 是自然对数，可以通过计算器得到。

举个例子，让我们来看看 n=1000 的情况。此时所有质数可以在这个列表中查找。我们的估计是：

这是一个很准确的近似。                                                                                                                         

然而，要精确地理解质数定理告诉我们的东西，我们需要说出我们所说的“一个准确的近似”是什么意思。质数定理并不是说，对于一个给定的整数n，真值和我们的近似值之间的差值接近 0 。相反，它告诉我们关于“近似值占真值的百分比是多少?”的问题。

回到我们 n=1000 的例子，真值是 168，近似值是 145 。因此，近似构成的比例：

近似值占真实值的 86% ，不错。

当 n=100000 时，包含 100000 的质数是 9592 ，这是真值，估值是 8686 。

在这种情况下，估值占真值的 90% 。

这相比于 n=1000 的情况，比例从 86% 提升到了 90% 。

一般来说，质数定理告诉我们，对于 n 很大的情况， n/ln(n) 得到的近似值几乎是真值的 100% 。事实上，你可以让它接近 100% ——只要你选择足够大的 n 。

红色曲线显示的是小于或等于n的质数数目，其中横轴表示 n 。蓝色曲线给出 n/ln(n) 的值。真实结果和近似结果之间的差值随着 n 的增长而增加，但两者之间的比值趋于 1 。                                           

为了用数学符号来描述素数定理在数学上的辉煌，让我们先用表示小于或等于的质数的数目。这个定理可以用公式表述：

如果你懂一点微积分你就会知道你可以交换分子和分母，此时表达式 (1) 等于：

素数定理通常用第二个表达式 (2) 来表述，有时也写成：

表示：“当 n 趋近于无穷大时， n/log(n) 趋近于 π(n) ”。

原文链接：

https://plus.maths.org/content/maths-minute-prime-number-theorem

https://plus.maths.org/content/maths-minute-how-many-primes

本文来自微信公众号：中科院物理所（ID：cas-iop），作者：Marianne